В одной из позднейших работ Архимед упоминает свое сочинение «О равновесии». То, что это сочинение не тождественно с трактатом о равновесии плоских фигур, показывают ссылки Архимеда на центры тяжести круга, цилиндра, призмы, конуса, параболоида вращения. Возможно, что трактат «О равновесии плоских фигур» был лишь одной частью более обширного труда «О равновесии», за которой следовала другая часть, посвященная равновесию объемных тел.
От не сохранившихся трактатов Архимеда дошел ряд фрагментов, цитируемых Героном (в «Механике»), Паппом (в «Математической библиотеке») и другими авторами. В частности, Герон приводит длинный отрывок из раннего сочинения Архимеда — «Книги опор». В нем еще нет строгости, присущей зрелым трудам великого сиракузца, и содержится ряд ошибок, относящихся к распределению опорных реакций и показывающих, что в период написания этой книги Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сосредоточенным в его центре тяжести.
Приведем дословно знаменитое определение центра тяжести, взятое Паппом из какого-то не дошедшего до нас сочинения Архимеда (может быть, из книги «О рычагах»):
«Центром тяжести некоторого тела мы называем некоторую расположенную внутри него точку, обладающую тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».
В заключение остановимся на последнем, по-видимому, предсмертном труде Архимеда — «О плавающих телах», заложившем математические основы новой пауки — гидростатики. Не исключено, что его написание было стимулировано популярной историей с короной царя Гиерона. Долгое время этот трактат был известен лишь в латинском переводе XIII в.; греческий текст трех четвертей трактата был обнаружен только в 1905 г. И. Л. Хейбергом в Константинополе, одновременно с письмом к Эратосфену (так называемый «Эфод»), о котором было сказано выше, в разделе математики.
Трактат «О плавающих телах» делится на две книги. Первая книга начинается с допущения, что жидкость является совокупностью прилегающих друг к другу частиц, из которых менее сдавленные вытесняются более сдавленными, причем каждая отдельная частица сдавливается жидкостью, отвесно над ней расположенной. Из этого фундаментального допущения Архимед выводил ряд следствий. В первых двух устанавливалось, что свободная поверхность воды, окружающей Землю, имеет сферическую форму, причем центр сферы совпадает с центром Земли. Хотя сферичность Земли к этому времени была уже общепризнанным фактом, тем не менее вывод Архимеда отнюдь не казался тривиальным и даже вызвал возражения такого крупного ученого, как современник Архимеда Эратосфен.
В последующих теоремах исследуются вопросы равновесия и устойчивости погруженных в жидкость тел, в частности формулируется положение, известное в наше время под именем закона Архимеда. Затем устанавливаются условия равновесия плавающего в жидкости сегмента шара, а во второй части трактата — сегмента параболоида. Обе эти задачи решаются двумя независимыми друг от друга и очень остроумными математическими методами. Именно эти методы представляли, в первую очередь, интерес для Архимеда, поскольку очевидно, что никакого практического значения обе эти задачи иметь в то время не могли.
Пример Архимеда крайне поучителен и позволяет сделать некоторые общие выводы. Будучи гениальным математиком и одновременно замечательным инженером, Архимед мог в большей степени, чем кто-либо другой из ученых той далекой эпохи, уяснить глубокую взаимозависимость между теоретическими (фундаментальными, как сказали бы мы теперь) исследованиями, и их техническими приложениями. Между тем даже у него требования практики являются в лучшем случае всего лишь случайными поводами для постановки тех или иных научных задач; решения же этих задач стимулируются отнюдь не возможными их применениями в практической жизни, а прежде всего чистой любознательностью ученого. Это была особенность всей античной науки, присущая ей на протяжении всей ее многовековой истории. В силу этого дефекта развитие античной науки происходило, если выражаться языком современной автоматики, без обратной связи, которая побуждала бы ее ставить все новые и новые задачи. В этом следует усматривать частичное объяснение застоя античной науки, последовавшего вслед за ее бурным взлетом в III—II вв. до н. э.