Эпоха поздней античности, после Птолемея, не дала в области географической науки ни одного значительного имени. Упоминания заслуживает, может быть, лишь Маркиан из Гераклеи Понтийской, живший около 400 г. и написавший (на греческом языке) несколько компилятивных сочинений, от которых до нас дошли отдельные куски. Бесспорно выдающимся ученым был Стефан Византийский, автор объемистой «Этнографии» в 60 книгах, но его время жизни падает на конец VI — начало VII вв. и потому не может быть отнесено к античной эпохе.
Математика
В предыдущей главе мы уже указывали па тот странный факт, что после Аполлония Пергского в эллинистической математике не появилось ни одного большого имени. Примерно около столетия длилась эпоха «эпигонов», затем наступил двухвековой перерыв — как если бы математикой в это время вообще никто не занимался. Новый подъем намечается лишь к концу I в. н. э., т. е. уже в эпоху Римской империи. Двумя выдающимися математиками этого времени были Герон и Менелай — оба из Александрии.
Герон более известен как талантливый инженер и изобретатель, но эта сторона его деятельности будет освещена ниже. Об его интересе к математике свидетельствует прежде всего тот факт, что он написал комментарий к «Началам» Евклида. Однако математика прежде всего была для него важна своими прикладными аспектами. До нас дошла «Метрика» Герона — сочинение, в котором собраны всевозможные формулы, использовавшиеся для измерения и для вычисления фигур. Среди них приводится и доказывается Формула, служащая для определения площади треугольника по трем его сторонам и приводимая в наше время в любом учебнике геометрии под именем «Формулы Герона» (имеются, впрочем, указания, что эта формула была известна еще Архимеду). Помимо точных формул, Герон приводит ряд приближенных правил; так, для извлечения квадратного корня он применяет правило, взятое, по-видимому, из вавилонской математики:
где а2 — наибольший целый квадрат, меньший N. Есть у него правило и для извлечения кубического• корня. Эти и многие другие правила он формулирует без доказательств, лишь поясняя их числовыми примерами.
Менелай Александрийский был математиком совсем иного рода. В области тригонометрии он был продолжателем Гиппарха и написал книгу, ныне утерянную, о вычислении хорд (что эквивалентно вычислению синусов).
Кроме того он заложил основы новой науки — сферической тригонометрии. В арабском переводе до нас дошла его «Сферика», состоящая из трех книг. В двух первых книгах доказываются различные теоремы о сферических треугольниках (между прочим, • теорема о равенстве).
Рис. 13. К «теореме о трансверсалях» Мснелая на плоскости
Рис. 14. К «теореме на трансверсалях» Менелая на сфере
Третья книга начинается с «теоремы о трансверсалях», состоящей в следующем.
Пусть даны две прямые АВ и АС и на них взяты две произвольные точки D и Е, и пусть CD и BE пересекаются в точке Z (рис. 13). Тогда можно доказать, что между отрезками, получившимся на чертеже, существуют такие соотношения:
Посредством проектирования из центра Менелай переводит эти отношения на сферу (рис. 14) и, если ADB, АЕС, CZD и BZE будут большими кругами сфер, получает отношение для хорд:
Из теоремы о трансверсалях Менелай получает ряд формул сферической тригонометрии.
Доказанная Менелаем «теорема о трансверсалях» нашла потом широкое применение у Птолемея. Вообще вся эта область математики разрабатывалась тогда в качестве математического аппарата для астрономии; тем не менее книга Менелая представляла собой значительное достижение и с чисто математической точки зрения.
Клавдий Птолемей был также несомненно прекрасным математиком, хотя математика интересовала его главным образом лишь как средство для решения астрономических и картографических задач. Но он не чуждался и чисто математической проблематики, о чем свидетельствует то, что им было написано сочинение о параллельных линиях и о пятом постулате Евклида (о чем сообщает Прокл). Текст этого сочинения утрачен и сколько-нибудь детальными сведениями о его содержании мы не располагаем (неоплатоник Прокл приводит якобы птоломеево доказательство пятого постулата Евклида, содержащее грубую ошибку).