Табл. 9.
Решать эту задачу можно разными способами. Например, в таблице 9 представлен один из возможных вариантов плана поставок. Каждая клетка таблицы разделена на две части. В верхней по-прежнему записано расстояние в километрах, а в нижнюю занесен объем поставки в тоннах. Так, поставщик № 1 везет потребителю № 1 2 тонны, поставщик № 2 везет потребителю № 3 42 тонны и т. д. Принцип составления плана поставок в таблице чисто «потолочный», единственное условие, которое контролировалось: суммы поставок в строках должны быть равны мощностям, а суммы поставок в столбцах — спросам. Объем грузооборота нетрудно подсчитать, для чего надо в каждой клетке верхнее число умножить на нижнее, а суммы сложить. Тогда грузооборот составит:
3 · 2 + 1 · 8 + 4 · 35 + 2 · 3 + 3 · 30 + 1 · 42 + 6 · 45 + 5 · 22 + 2 · 13 = 698 тонна-километров.
Однако «потолочный» принцип все же не является доминирующим при практическом составлении плана поставок. Обычно верх берет великий и универсальный здравый смысл. Составляется план в соответствии с ним (см. таблицу 10).
Табл. 10.
Самыми маленькими расстояниями в таблице являются расстояния от потребителя № 2 до поставщика № 1 и от потребителя № 3 до поставщика № 2 — 1 километр. Принимается решение везти на эти расстояния максимальное количество груза, то есть всю мощность поставщиков № 1 и № 2. Заносятся эти поставки в соответствующие клетки таблицы. Поскольку нераспределенной осталась только мощность поставщика № 3, то распределяется и она: не хватает 15 тонн потребителю № 3, недостающие 15 тонн потребителю № 2, а остальные 50 тонн поставляются потребителю № 1. В остальные клетки ничего не записывается, так как ничего не поставляется. Объем грузооборота оказался равен:
1 · 45 + 1 · 75 + 2 · 15 + 5 · 15 + 6 · 50 = 525 тонна-километрам.
Итак, здравый смысл позволил сэкономить 173 тонна-километра. Что же дальше?
Дальше здравый смысл молчит. Кажется, что лучше не придумаешь. При внимательном рассмотрении таблицы 10 вызывает, правда, некоторое беспокойство тот факт, что из-за слишком активного применения принципа «вези к ближайшему» пришлось в конце концов везти 50 тонн на максимальное расстояние — 6 километров. Поневоле вспоминается пример с цементом, когда все быстро прикрепились к ближайшим поставщикам и в результате пришлось с Сахалина груз везти в другой конец страны!
Математический анализ «транспортной задачи» позволяет создать алгоритм получения оптимального решения, который, в общем, не имеет ничего общего с правилом, диктуемым здравым смыслом. В этом случае получается решение, представленное в таблице 11.
Табл. 11.
Объем грузооборота для него 360 тонна-километров, то есть еще на 165 тонна-километров меньше. Эти 165 тонна-километров — чистый выигрыш от применения математики. Вот ответ на третий вопрос — какую конкретную пользу можно получить от применения экономико-математических методов.
Использование модели «транспортной задачи» в планировании перевозок приносит гигантский экономический эффект. В литературе приводятся такие факты. Затраты на перевозки всех грузов всевозможными видами транспорта по стране в 1968 году составили более 20 миллиардов рублей. В результате укрупнения автотранспортных предприятий расширяются массовые перевозки таких продуктов, как хлеб, молоко, кирпич, сборные железобетонные конструкции, песок и т. д. В Москве песок перевозится с десятка пристаней, а кирпич и сборный железобетон — с нескольких десятков заводов на сотни строительных площадок, хлеб с нескольких десятков заводов в тысячи магазинов. Анализ показывает, что, если при планировании перевозок пользоваться моделью «транспортной задачи», это даст возможность сэкономить до 40 процентов средств!
На этом можно было закончить рассказ о «транспортной задаче» как о примере моделирования, если бы не необходимость посмотреть, в каких еще ситуациях используется ее модель. А на этой модели, оказывается, можно решать еще несколько классов задач!