А вот с Дирихле все проще: каждый член ряда при делении на 2027 дает какой-то остаток. Остатков этих никак не больше 2027 (0, 1, 2… 2026). А бесконечность-то всяко больше каких-то там 2027! То есть в ряду у нас непременно найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на 2027. Возьмем эти два числа, отнимем одно от другого: 111…111 – 1…1 = 11…1100…00, и вот это число уже делится на 2027. Раз 11…1100…00 делится на 2027, значит и 11…11 делится на 2027, а это число – член ряда.
Можно даже пойти дальше и доказать, что делимое на 2027 мы найдем среди первых 2027 членов ряда. Можно и вовсе ускакать в открытую степь: перейдя в двоичную, троичную и прочие системы счисления, показать, что и там все работает, далее с помощью несложных умозаключений прийти к выводу, что любое простое число можно домножить до вида a^n-1.
Но вернемся-ка мы из киргиз-кайсацкой степи неведомых умозаключений к нашему алгебраическому отряду под руководством Дирихле: конечное количество остатков и попытка втиснуть два числа в клетку с одним остатком – вполне стандартный прием. Из-за него и учащимся алгебре, кажется, незазорно иной раз с придыханием произнести:
– Дирихле!
К алгебре с геометрией несется благородный отряд теории графов… А тем временем на горизонте в разных точках клубится пыль от целых армий с иными участниками, и, приложив ухо к земле, помимо цокота копыт, можно, кажется, расслышать кое-что еще:
– Ди-рих-ле!
Двести четыре
Сегодня, 12 октября 2025 года, прошел финал теннисного турнира серии «Мастерс», одного из самых высокорейтинговых турниров, на который попадают лишь лучшие теннисисты. Для 204-й ракетки мира Валентина Вашеро это, казалось бы, не тот турнир, на котором стоит на что-то надеяться. Ему 26 лет, он выиграл всего 1 матч (не турнир, а именно матч) уровня ATP за всю свою карьеру.
Однако на турнир он заявился. При его рейтинге он не попадал не то что в основную сетку – даже в квалификацию и то не попадал. Кто-то из игроков может сняться с турнира и может повезти – откроется возможность сыграть один-два матча в квалификации, на это, вероятно, была надежда Вашеро, который стал запасным. Что ж, это случилось – и вот он в квалификации.
Абсолютный аутсайдер, первый матч он тяжело – с тай-брейком и в трех сетах – выиграл. Второй матч тоже был нелегким. И тай-брейк, и три сета – полный комплект. Вышел в основную сетку.
А в первом круге случилось редкое событие – он выиграл второй за всю свою карьеру матч уровня ATP! В двух сетах. Во втором круге его поджидал 17-й лучший игрок мира. Шансов, мягко говоря, немного. Но он обыграл и его. Оппонент по ходу матча изумлялся, почему так хорошо играет тот, кто, судя по рейтингу, так играть просто не может. В третьем круге повесил «баранку» (взял сет под ноль) 23-й ракетке мира.
Четвертый круг – тяжелый матч. И тай-брейк, и три сета. Но Вашеро и здесь вышел победителем. Дальше четвертьфинал. Повержена 11-я ракетка мира – и Валентин выходит в полуфинал играть против знаменитого Джоковича. Будущий результат кажется очевидным: ни трех сетов, ни даже тай-брейка, относительно легкая победа. Так и случилось. Только вот выиграл этот матч Вашеро. Установлен новый рекорд турнира подобного ранга – никогда теннисист вне топ-200 не попадал в финал.
Тут можно сказать: ну и что? Раз в 20 лет рекорд обновляется. Значит, это событие хоть и встречается крайне редко, но отнюдь не такое, о чем стоит трубить в цикле «Числа». Может, это интересно для теннисистов да болельщиков… а нам-то в рамках цикла какое до этого дело?
Что ж, все так… в том случае, если б история на этом заканчивалась. Однако рассказана лишь ее половина.
У Вашеро есть двоюродный брат – Артюр Риндеркнеш. Тоже теннисист. 54-я ракетка мира. Как видно из рейтинга, с результатами у него получше, чем у кузена. Однако ему уже 30 лет, а максимум, чего он достигал, – 42-я строчка рейтинга. Это значит, что обычная траектория у него такая: выиграл в первом круге – проиграл во втором, выиграл в первом – проиграл во втором… Максимум за всю карьеру – достижение третьего круга турнира серии «Мастерс».
Артюр тоже участвовал в этом турнире. Не в квалификации, а сразу в основной сетке. Не вызвало удивления, что он прошел первый круг. Победа во втором хоть и считалась маловероятной, но все же тоже из разряда «бывает». А в третьем – рекордном для Риндеркнеша – круге ему пришлось играть против 3-й ракетки мира. Ему удалось довести дело до трех сетов и… выиграть матч. Лучшее достижение в карьере в этой категории турниров!