Возвращаясь к дню финала в Дубае… В этот день произошло два события. Во-первых, Иран произвел ракетный удар, затронувший Дубай. А во-вторых, другой финалист снялся с последнего матча. И вот тогда Медведев наконец выиграл один и тот же турнир дважды. Для этого, похоже, нужно было, чтобы небеса в буквальном смысле разверзлись.
Три, четыре, пять
Кажется, числа были с человечеством всегда: сколько пальцев на руке? сколько барашков в стаде? сколько шагов до родника? какова численность племени? Но долгое время они были строго привязаны именно что к шагам, пальцам да барашкам. Так было не только в кочевую эпоху. Так было и в Вавилоне, и в древнем Египте. Несмотря на развитие математики в этих регионах, она оставалась сугубо прикладной наукой или, пожалуй, даже ремеслом.
Первое понимание чисел как абстрактных величин пришло лишь 2,5 тысячелетия назад в древней Греции. Осознание, что законы этого мира даже в абсолютно не связанных с виду сферах основаны на числах, оказалось шокирующим. Как, например, объяснить, что числа царят и в астрономии, и в музыке? Греки были настолько впечатлены данным фактом, что образовался целый орден чисел. А верховным его магистром стал Пифагор.
У этого ордена был и ритуал вступления, и степени посвящения, и тайные знания. Многие «таинства», в которых посвящали членов пифагорейского общества, сейчас вызовут лишь улыбку, но все же это был научный орден. Ни масоны, ни тамплиеры, ни кто ни было еще не могут похвастаться этим. А пифагорейцы могли. Числа, как некий магический ключ к законам этого мира, влекли умнейших людей того времени.
Наверное, многие представляют Пифагора в качестве эдакого чудака-ученого, хотя на самом деле он был правителем, блестящим оратором и, возможно, самым влиятельным греком своего времени. Основанный им орден продержался в течение веков, а пропагандируемая им магия чисел и вовсе пережила тысячелетия: даже Кеплер, живший в XVI–XVII веках, потратил десятки лет на то, чтобы описать в своей работе «музыку небесных сфер», связав движение планет с музыкальными интервалами – Пифагор бы, вероятно, одобрил.
Одной из вершин числовых знаний того времени стала теорема Пифагора. Это может показаться странным, ведь теорема эта связана напрямую с геометрией, а вот прямой связи с числами на первый взгляд не видно. Однако есть странный факт, который так привлек пифагорейцев: если взять катеты равными 3 и 4, гипотенуза будет равна 5. Почему гипотенуза – целое число? Откуда в геометрии при рассмотрении треугольников вдруг появились целые числа? В этом случае обычно говорят о формуле гипотенузы и свойствах чисел – мол, вот отсюда все и следует. Греки это тоже понимали, но, похоже, задумывались и над более философским вопросом: как так вышло, что вот это все вдруг появилось в геометрии, куда вроде бы целые числа никто не звал и никакой прямой связи быть там просто не должно? Словно очередная таинственная дверь знаний, к которой подходил магический числовой ключ.
Триады целых чисел, открывающие эту дверь, сейчас называют пифагоровыми тройками: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), … Несложно доказать, что таких троек бесконечное множество.
Теорема Пифагора оказала огромное влияние на все последующее развитие математики. Казалось бы, ну теорема и теорема, даже древние греки, задолго до Евклида, дошли до нее, откуда влияние-то? Но тут сошлось многое.
Во-первых, последующий трактат Евклида стал главным математическим трудом на следующие 2200 лет: по числу переизданий «Начала» Евклида – номер один среди светских книг. Во-вторых, теорема Пифагора выводится практически из аксиом. В-третьих, она проста в формулировке. В-четвертых, доказать ее можно множеством способов. Последний фактор привел к тому, что в определенный период в Европе каждый, кто претендовал на звание математика, должен был представить собственное доказательство теоремы Пифагора, то есть такое, до которого бы никто за все прошедшие века не додумался.
В результате история запечатлела доказательства Леонардо да Винчи, президента США Гарфилда, 12-летнего Эйнштейна… В 1940 году Элайша Лумис представил книгу, в которой собрано 370 доказательств. Систематизируя их, он посчитал, что бывают они лишь четырех видов:
– алгебраические (основаны на подобии треугольников; одно из них обычно и приводится в школе);
– геометрические (иногда это даже «доказательства без слов»: через дополнительные построения показывают, что сумма площади фигур, построенных на катетах, равна подобной фигуре, построенной на гипотенузе);
– векторные;