– физические (через момент силы).
Лумис полагал, что иных видов доказательств попросту нет: ни через тригонометрию, ни через математический анализ теорему Пифагора не доказать, так как они, собственно, и построены на теореме Пифагора (например, тот факт, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице). Однако чуть позже, в 80-е годы XX века, появляется первое доказательство, основанное на математическом анализе, затем второе… А потом в дело вступила и тригонометрия.
В 2009 году тригонометрическое доказательство привел Джейсон Зимба, в 2015 – Нуно Лузиа, а в 2023 году новое доказательство этого вида представили две старшеклассницы из Луизианы. Это случилось всего три года назад, и публикация вызвала значительный интерес, в том числе со стороны мировых СМИ: не каждый день школьники привносят что-то новое в математику. Четыре месяца назад, в ноябре 2025 года, в американском «Математическом журнале» опубликовали подробное подтверждение со стороны ученых: да, школьницы правы.
Такая вот 2500-летняя история у казалось бы простой и понятной теоремы.
Корень из двух
Пифагорейский орден, о котором мы говорили в прошлом разделе, возвел на пьедестал числа. Но не все, а лишь рациональные.
Как известно, натуральные числа – это числа счета: 1, 2, 3, … Если к ним добавить множество тех же чисел, но со знаком «минус», а также нолик, получим множество целых чисел. Если взять все числа, которые образованы отношением одного целого числа к другому (кроме ноля), получим множество рациональных чисел. Вот они-то и были для пифагорейцев магическим ключом к тайнам Вселенной.
Это может показаться странным, ведь если в теореме Пифагора взять длины катетов равными единице, то длина гипотенузы выйдет иррациональной: корень из двух нельзя представить в виде отношения одного целого к другому. Однако это нам сейчас легко доказать, а греки только-только открывали для себя математику как науку, и для них существовали лишь рациональные числа.
Согласно легенде, Гиппас, первый математик, представивший доказательство возможности иррациональности, был выброшен пифагорейцами за борт. У жизни гениев не всегда благополучный конец. Хотя это лишь легенда, однако спустя тысячелетия история в какой-то степени повторилась: когда назрела необходимость представления неевклидовой геометрии, Гаусс признался, что не стал этого делать, чтобы не стать «посмешищем для болванов». Лобачевский же сделал – и, похоже, именно поэтому лишился в итоге своего поста. Не выбрасывание в открытое море, но все же неприятно.
Впрочем, вернемся к иррациональным числам. Долгое время они оставались вершиной нелогичности, о чем, собственно, и свидетельствует их название. Лишь в XVI веке первенство в алогичности перешло к комплексным числам, невещественную часть которых до сих пор называют мнимой или воображаемой.