A los astrónomos, cuando discuten la estructura a gran escala del Cosmos, les gusta decir que el espacio es curvo, o que el Cosmos carece de centro, o que el universo es finito pero ¡limitado. ¿De qué están hablando? Imaginemos que habitamos un país extraño donde todos somos perfectamente planos. De acuerdo con Edwin Abbott, un estudioso de Shakespeare que vivió en la Inglaterra victoriana, le llamaremos Flatiand. Algunos somos cuadrados; algunos son triángulos, algunos tienen formas más complejas. Entramos y salimos muy atareados de nuestros edificios planos ocupados en nuestros negocios y nuestras diversiones planas. Todo el mundo en Flatland tiene anchura y longitud pero carece de altura. Conocemos la derecha izquierda y el delante atrás, pero no tenemos ni idea, ni pizca de comprensión por el am'ba abajo. Pero los matemáticos planos sí lo entienden. Ellos nos dicen: Todo es muy fácil. Imaginad el derecha izquierda. Imaginad el delante atrás. ¿Seguís? Imaginad ahora otra dimensión que forma ángulo recto con las otras dos.
Y nosotros decimos: ¿Pero de qué nos hablas? ¿Cómo puede formar ángulo recto con las otras dos? Sólo hay dos dimensiones. Enséñanos esta tercera dimensión. ¿Dónde está? Y los maternaticos, desanimados, se largan. Nadie escucha a los matemáticos. Todo ser plano de Flatiand ve a otro cuadrado como un corto segmento de línea, el lado del cuadrado que está más cerca de él. Para poder ver el otro lado del cuadrado ha de dar un corto paseo. Pero el intepior del cuadrado pennanece eternamente misterioso, a no ser que algún terrible accidente o una autopsia rompa los lados y deje expuestas las partes interiores.
Un día un ser tridimensional, por ejemplo en forma de pera, llega a Flatiand y se queda mirándolo desde arriba. Al ver que un cuadrado especialmente atractivo y de aire sociable entra en su casa plana, la pera decide en un gesto de amistad intérdimensional saludarlo. ¿Cómo estás?, le dice el visitante de la tercera dimensión. Soy un visitante de la tercera dimensión. El desgraciado cuadrado mira por toda su casa que está cerrada y no ve a nadie. Peor todavía: se imagina que el saludo que entra desde arriba es una emanación de su propio cuerpo plano, una voz de su interior. La familia ha estado siempre algo charada, piensa quizás para darse ánimos.
La pera, exasperada al ver que la toman por una aberración psicológica, desciende a Flatlaiid. Pero un ser tridimensional sólo puede existir parcialmente en Flatiand, sólo puede verse una sección de él, sólo los puntos de contacto con la superficie plana de Flatland. Una pera deslizándose por Flatiand aparecería primero como un punto y luego como rodajas cada vez mayores y aproximadamente circulares. El cuadrado ve que aparece un punto en una habitación cerrada de su mundo bidimensional que crece lentamente hasta formar casi un círculo. Un ser de forma extraña y cambiante ha surgido de la nada.
La pera, desairada, irritada por la obtusidad de los muy planos da un golpq al cuadrado y lo proyecta por los aires revoloteando y dando vueltas por esta misteriosa tercera dimensión. Al principio el cuadrado es incapaz de entender lo que está sucediendo: es algo que escapa totalmente a su experiencia. Pero al final se da cuenta de que está viendo Flatiand desde una perspectiva especiaclass="underline" desde arriba. Puede ver el interior de habitaciones cerradas. Puede ver el interior de sus congéneres planos. Está contemplando su universo desde una perspectiva única y arrolladora. El viaje por otra dimensión ofrece como una ventaja adicional una especie de visión con rayos X. Al final nuestro cuadrado desciende lentamente hasta la superficie como una hoja que cae. Desde el punto de vista de sus compañeros de Flatland desapareció inexplicablemente de una habitación cerrada y luego se materializó penosamente de la nada. Por Dios, le dicen, ¿qué te ha pasado? Me parece, contesta él mecánicamente, 44 que estuve ancha. Le dan unos golpecitos en los costados y le consuelan. La familia siempre tuvo visiones.
En estas contemplaciones interdimensionales no tenemos que limitamos a las dos dimensiones. Podemos imaginar, siguiendo a Abbott, un mundo de una dimensión, donde cada cual es un segmento de línea, o incluso el mundo mágico de los animales de cero dimensiones, los puntos. Pero quizás sea más interesante la cuestión de las dimensiones superiores. ¿Podría existir una cuarta dimensión física?
Podemos imaginar que generamos un cubo de la siguiente manera: Tomemos un segmento de línea de una cierta longitud y desplacémoslo una longitud igual en ángulo recto a sí mismo. Tenemos un cuadrado. Desplacemos el cuadrado una longitud igual en ángulos rectos a sí mismo y tendremos un cubo. Sabemos que este cubo proyecta una sombra, que dibujamos normahnente en forma de dos cuadrados con sus vértices conectados. Si examinamos la sombra de un cubo en dos dimensiones, nos damos cuenta de que no todas las líneas aparecen iguales, y de que no todos los ángulos son ángulos rectos. El objeto tridimensional no ha quedado perfectamente representado en su transfiguración a dos dimensiones. Este es el coste que hay que pagar por perder una dimensión en la proyección geométrico: no derecha izquierda, no delante atrás, no arriba abajo, sino simultáneamente en ángulos rectos a todas estas direcciones. No puedo decir qué dirección es ésta pero puedo imaginarme que existe. En este caso habremos generado un hipercubo cuadridimensional, llamado también teseracto. No puedo enseñar un teseracto, porque estamos encerrados en tres dimensiones. Pero lo que puedo enseñar es la sombra en tres dimensiones de un teseracto. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Pero en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las líneas tendrán longitud igual y todos los ángulos serán ángulos rectos.
Imaginemos un universo igual que Flatland, con la excepción de que, sin que sus habitantes lo sepan, su universo bidimensional está curvado a través de una tercera dimensión fisica. Cuando los habitantes de Flatland hacen excursiones cortas, su universo les resulta suficientemente plano. Pero si uno de ellos hace un paseo lo bastante largo por lo que él imagina ser una línea perfectamente recta, descubre un gran misterio: a pesar de no haber llegado a ninguna barrera ni de haber en ningún momento dado la vuelta, ha acabado de algún modo llegando al lugar de donde partió. Su universo bidimensional tiene que haber sido deformado, doblado o curvado a través de una misteriosa tercera dimensión. Él no puede imaginar esta tercera dimensión, pero puede deducirla. Si sumamos en esta historia una dimensión a todas las citadas tenemos una situación que puede ser válida para nosotros.
¿Dónde está el centro del Cosmos? ¿Tiene el universo algún borde? ¿Qué hay detrás de él? En un universo bidimensional, curvado a través de una tercera dimensión no hay centro, por lo menos no lo hay sobre la superficie de una esfera. El centro de este universo no está en este universo; está situado inaccesiblemente en la tercera dimensión, dentro de la esfera. Aunque en la superficie de la esfera el área está limitada, este universo carece de borde: es finito pero ¡limitado. Y la pregunta: ¿qué hay más allá? carece de sentido. Los seres planos no pueden por sí solos escapar de sus dos dimensiones.
Si incrementamos por uno todas las dimensiones citadas tenemos una situación que puede ser válida para nosotros: el universo como una hiperesfera cuadridimensional sin centro ni borde, y sin nada más allá. ¿A qué se debe que todas las galaxias parece que huyan de nosotros? La hiperesfera se está expandiendo a partir de un punto como si se hinchara un balón cuadridimensional, creando a cada instante más espacio en el universo. En algún momento posterior al inicio de la expansión, las galaxias se condensan y son transportadas hacia el exterior sobre la superficie de la hiperesfera. Hay astrónomos en cada galaxia, y la luz que ven también está atrapada en la superficie curva de la hiperesfera. A medida que la esfera se expande, un astrónomo de cualquier galaxia pensará que todas las demás galaxias huyen de él. No hay marcos de referencia privilegiados. 1 Cuanto más lejos está la galaxia más rápidamente retrocede. Las galaxias están incrustadas, sujetas al espacio, y el tejido de¡ espacio se está expansionando. Y la respuesta a la pregunta ¿en qué parte del universo presente ocurrió el big bang? es clara: en todas partes.