Когда таким образом исчерпывается математика прямого и кривого, то открывается новое, почти безграничное поприще, т. е. математика, которая рассматривает кривое как прямое (дифференциальный треугольник), и математика, которая рассматривает прямое как кривое (кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной). О, метафизика! [Этот абзац написан позже на полях.] (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31 — 32, 1932 г.)
Взаимопроникновение арифметических действий
Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, являющимися элементами всей математики. И, однако, умножение является сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в известном случае — если делитель есть дробь — деление заменяется умножением на обратную дробь. В алгебре идут еще дальше этого. Каждое вычитание (a-b) можно рассматривать как сложение (-b+a), каждое деление a / b как умножение a × 1 / b. При действиях со степенями идут еще дальше. Все неизменные различия способов вычисления исчезают, все можно изобразить в противоположном виде. Степень — в виде корня 
, корень — в виде степени 
. Единицу, деленную на степень или на корень, — в виде степени знаменателя 
.
Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и представить в виде степени всякого другого числа (логарифмы, ). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, — это один из самых могучих рычагов математического знания, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Достаточно только вычеркнуть из математики отрицательные и дробные степени, чтобы убедиться, что без них далеко не уйдешь.
(- × - = +, - / - = +, 
и т. д. раньше развить).
Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, зачатки которого вскоре были заложены и которое было в целом завершено, а не открыто, Ньютоном и Лейбницем [Этот абзац написан позже на полях.]. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 30 — 31, 1932 г.)
Тожество и различие. Диалектическое отношение их имеется уже в дифференциальном исчислении, где бесконечно мало, но в то же время действенно и производит все. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 30, 1932 г.)
Отрицательные и положительные величины
. Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они относятся к положительным величинам, реальны лишь в своих отношениях к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они мнимы. В тригонометрии и аналитической геометрии, вместе с построенными на них отраслями высшей математики, они выражают определенное направление движения, противоположное положительному направлению. Но можно с одинаковым успехом отсчитывать синусы и тангенсы как в первом, так и в четвертом квадратах и значит можно обратить плюс в минус. Точно так же в аналитической геометрии можно отсчитывать абсциссы в круге, либо начиная с периферии, либо начиная с центра и вообще у всех кривых в направлении, обозначаемом обыкновенно минусом, и при этом мы получаем правильное рациональное уравнение кривой. Здесь + существует только как дополнение -, и обратно. Но алгебра в своих абстракциях рассматривает их как действительные, самостоятельные величины, без отношения к какой-нибудь большей, положительной величине. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 111, 1932 г.)