Каждое четное целое число больше 2 может быть представлено как сумма двух простых чисел.
Это и есть проблема Гольдбаха, названная так в честь ее автора, хотя сам он сформулировал ее по-другому. Ее также называют сильной проблемой Гольдбаха — в отличие от слабой проблемы, более простой с математической точки зрения, которая звучит так:
Каждое нечетное число больше 7 может быть представлено как сумма трех нечетных простых чисел.
Сильная проблема включает в себя слабую, но не наоборот.
Доказательство слабой проблемы довольно простое: если п — нечетное число и больше 7, то n = p + 3 > 7, следовательно р четное и р > 7-3 = 4. Если сильная гипотеза Гольдбаха подтверждается, то р — сумма двух простых чисел. Между тем n = р + 3, где р равно сумме двух нечетных простых чисел. Следовательно, п является суммой трех нечетных чисел, что и требовалось доказать. Сильная проблема подразумевает слабую. Сильная проблема Гольдбаха подтверждается для любого четного числа, иногда несколькими способами:
4-2 + 2
6-3 + 3
8-3 + 5
10-3+7-5+5
12-5 + 7
14-3+11-7 + 7
16-3+13-5+11
18-5+13-7 + 11
20-3+17-7 + 13.
В интернете есть сайты, на которых можно найти суммы Гольдбаха, доказывающие, что его гипотеза подтверждается всегда, независимо от выбранного числа. Например, для 1000:
1000 -179 + 821 =191 +809 = 431 +569- = 19 +1019.
Аналогично можно выбрать сумму с нечетными простыми числами, из которых одно отрицательное, чтобы убедиться, что проблема Гольдбаха подходит не только для простых натуральных чисел. В сети можно даже найти вычислительные программы, которые выдают суммы Гольдбаха для любого рационального числа, но с условием, что оно не очень большое. Встречаются такие суммы, члены которых сильно отличаются по величине, например:
389965026819938 = 5569 + 389965026814369.
Гольдбах родился в Пруссии, но большую часть своей жизни провел в России, где искал новые таланты для Петербургской академии и работал в ней же секретарем. Он дружил с Лейбницем, Абрахамом де Муавром, Николаем Бернулли (а также с другими членами этой выдающейся семьи) и Эйлером, чью кандидатуру он усиленно продвигал и в переезде которого в Россию сыграл решающую роль. Он даже стал учителем царевича Петра II и занимал высокие посты в министерстве иностранных дел, где работал криптографом. Гольдбах занимался разными областями науки и добился хороших результатов в изучении числовых последовательностей, в особенности благодаря сотрудничеству с Эйлером. Личность последнего, видимо, стимулировала Гольдбаха в работе. Например, не все знают, что именно Гольдбах, будучи не в состоянии решить Базельскую задачу самостоятельно, привлек к ней Эйлера, который впоследствии прославился найденным решением. Переписка Эйлера и Гольдбаха, необыкновенно обширная и полная математических рассуждений, насчитывает почти 200 писем. Об уважении, которое Эйлер питал к Гольдбаху, свидетельствует хотя бы тот факт, что он выбрал коллегу крестным отцом своего первенца.
Сегодня о Гольдбахе вспоминают не в связи с его теоремами, а с проблемой, носящей его имя. В 1992 году вышел роман "Дядя Петрос и проблема Гольдбаха" Апостолоса Доксиадиса. Издательство Faber&Faber предложило премию в миллион долларов, действительную два года, тому, кто найдет решение. Скорее всего, издатели знали, что никакого ответа они не получат. Пока эта проблема решена только в испанском художественном фильме 2007 года "Западня Ферма" режиссеров Луиса Пьедраиты и Родриго Сопеньи.
В этой паре, не так давно найденной нумерологом Йоргом Рихстейном, одно слагаемое состоит из четырех цифр, а второе — из 15, при этом оба они являются простыми числами. До сих пор никому не удалось доказать ни одну из двух гипотез. Слабую можно считать почти доказанной, поскольку известно, что она работает для всех чисел больше 10 346. Чтобы доказать ее полностью, надо разобраться с нерешенными случаями: начать с 7 и дойти до 10 1346. Это очень сложно: любой существующей вычислительной машине потребуется на это большее количество секунд, чем число атомов во Вселенной.