С сильной проблемой Гольдбаха ситуация яснее: ни одного ее доказательства не существует. Найти его не удалось даже Эйлеру. С помощью супервычислителей Cray проблему проверили для огромных чисел, доходящих до 1018, но общее доказательство так и не найдено. Тем не менее математикам удалось добиться значительных результатов. Например, китайский ученый Чен Джингрун (1933-1996) в 1966 году доказал, что каждое достаточно большое число можно представить в виде суммы двух других, из которых одно — простое, а второе — произведение максимум двух простых.
Вариационное исчисление может считаться обобщенным исчислением и поэтому однозначно является частью анализа. Его цель заключается в нахождении пути, кривой, поверхности и так далее, для которых определенная функция имеет стационарное значение — как правило, максимальное или минимальное. Исчисление имеет основополагающее значение для физики, в частности в таких областях практического применения, как теория упругости и баллистика, которые вызывали большой интерес уже во времена Эйлера. Неудивительно, что ученый пришел к вариационному исчислению в 1744 году, через три года после переезда в Берлин, когда он занялся физикой, а именно принципом наименьшего действия в механике.
РИС. 5
РИС . б
РИС. 7
Путь, пройденный лучом света на поверхности от А до В, равен отрезку А’ В. Следовательно, он проходит наименьшее расстояние.
Как и все основные проблемы в математике, вопрос о максимумах и минимумах имел длинную историю. Достаточно вспомнить классическую задачу — или, скорее, легенду — о Ди- доне, королеве Тира. Она бежала с последними оставшимися ей верными людьми и достигла берегов, на которых ей суждено было создать свое царство, Карфаген. Она попросила местного короля Иарбанта дать ей кусок земли, где могли бы жить ее подданные. Тот согласился с одним условием: владения Дидоны должны быть равны площади, которую она сможет покрыть воловьей шкурой. Чтобы упростить объяснение, представим, что побережье — прямая линия, без заливов, бухт и мысов. Царица разрезала шкуру на тончайшие ремешки так, что получилась длинная веревка. Она соединила ее концы (рисунок 5), а затем применила базовый принцип изопериметров, то есть площадей, периметры которых имеют одинаковую длину. Одна часть этого периметра проходила вдоль моря, а оставшаяся должна была охватить как можно большую площадь. Решение состояло в том, что веревка из воловьей кожи должна располагаться в виде полукруга, диаметр которого — побережье (рисунок 6). Задача Дидоны относится к разряду классических изопериметриче- ских задач, которые часто встречаются в физике. Она относится к более широкой категории задач, похожих друг на друга, поскольку в них всегда надо найти экстремум функционала — максимум или минимум — при заданных неизменных условиях. Существует наглядный и к тому же очень древний пример, автором которого является Герон Александрийский (ок. 10- 70). Он задался вопросом об отражении света, заметив, что луч, идущий от А к В, отражаясь от зеркала, следует по самой короткой траектории (рисунок 7).
РИС. 8
РИС. 10
Впоследствии Ферма сформулировал закон о преломлении света (так называемый закон Снеллиуса), по которому n1, sinθ1 = n2 sinθ2 Однако в этом случае пройденное расстояние не было минимальным. Минимальным было время, за которое луч проходит от A до B, а расстояние на самом деле было, как мы сказали бы сегодня, функцией времени: e = v · t, где v — скорость луча света в преломляющей его среде. Таким образом, минимизируется функция ƒ(t) · vt (рисунки 8-9).
Хотя семья Пьера де Мопертюи (1698- 1759) сделала состояние, промышляя пиратством — его отец был корсаром, получившим дворянский титул, — и у Пьера была возможность сделать военную карьеру, он выбрал науку и стал выдающимся математиком, физиком, естествоиспытателем и астрономом. Мопертюи был последователем Ньютона. Приняв участие в экспедиции в далекую Лапландию, чтобы собрать данные о длине земного меридиана, он пришел к выводу, что Земля сплюснута у полюсов, и подтвердил таким образом теорию своего учителя. Мопертюи также первым сформулировал принцип наименьшего действия. Правда, некоторые историки ставили его первенство под вопрос, поскольку считали, что Эйлер узнал об этом принципе раньше и уже использовал его. В отношениях между Мопертюи, одной из главных фигур Прусской академии, и Эйлером были периоды большой напряженности. Согласно некоторым источникам, Мопертюи так писал о швейцарском ученом: "Эйлер... в общем чрезвычайно странный персонаж... это неутомимый и надоедливый человек, который любит вмешиваться во все дела, хотя структура Академии и распоряжения нашего короля запрещают подобные вмешательства".