∆uk = uk+1 - uk.
Последующие конечные разности (второго порядка ∆2, третьего порядка ∆3, четвертого порядка ∆4 и так далее) определяются, исходя из разностей первого порядка с помощью рекурсии, то есть каждая использует предыдущую:
∆puk = ∆(∆p-1uk).
Таким образом строго определяются конечные разности любого порядка — ∆, ∆2, ∆3,... — и с ними можно работать.
В серии работ, начатых еще в Базеле, Эйлер открыл формулу комплексных чисел, впоследствии ставшую знаменитой. Он использовал ее для нахождения значения математической категории, до той поры неизвестной, — отрицательных логарифмов. Как мы уже сказали, для обозначения мнимой единицы, √-1, Эйлер использовал символ i.
С этого момента подразумевается, что если в арифметической формуле есть i, то
i= √-1.
Во время работы в Базеле Эйлер открыл формулу
exi = cos x + isin x
и преобразовал ее так, как только он, великий жонглер символами, был способен. Из этого простого выражения, известного как формула Эйлера, которое связывает комплексные числа с тригонометрией, в последующие столетия произошла, как мы увидим в главе 3, большая часть математического анализа.
Во времена Эйлера пользовались большой популярностью логарифмы — инструмент вычисления, открытый в XVI веке. Однако их потенциал оставался невостребованным вплоть
до появления работ швейцарского ученого. Представим их определение: если а положительное число, называемое основанием, N также положительное число и верно равенство
N = αx,
то говорится, что х — логарифм N и пишется х = log2N. Или:
N = αlogN.
Если основание логарифма — число е, то пишется In N вместо log N.
Господа: это абсолютно верно и совершенно парадоксально, мы не можем понять этого и не знаем, что это означает, но мы это доказали и, следовательно, знаем: это правда.
Бенджамин Пирс (1809-1880), профессор Гарварда о так называемой
ФОРМУЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ЭЙЛЕРА
Число -1 можно записать как -1 =1 + 0i и, следовательно, рассматривать его в качестве комплексного числа. Подставим его в формулу Эйлера:
-1 = 1 + 0i = cosπ + isinπ = exi.
Теперь рассмотрим только начало и конец этого равенства и используем натуральный логарифм:
In(-1) = In(exi) = πi.
Таким образом, Эйлер получил точное значение натурального логарифма от -1, отрицательного числа. На этом ученый приостановил интеллектуальную атаку на данную область и уехал в Санкт-Петербург. Только в 1751 году, почти 25 лет спустя, Эйлер обнародовал этот результат в надлежащем виде вместе со многими другими в фундаментальном труде "Введение в анализ бесконечно малых".
Как древние воины, которые продолжали выпускать стрелы даже при отступлении, Эйлер уехал в Россию и отложил изучение отрицательных логарифмов, продемонстрировав, тем не менее, свое будущее оружие.
ГЛАВА 2
Ряды, постоянные и функции: Эйлер в России
Уже в возрасте 20 лет Эйлер стал членом Петербургской академии наук. Так начался период его математического творчества, которому нет аналогов в истории данной науки. В это время ученый открыл гамма-функцию (Г), дал определение постоянной е и сделал другие важные открытия в анализе и теории чисел, а также нашел решения двух задач, имевшие значительные последствия: Базельской задачи и задачи о мостах Кенигсберга.
Эйлер ехал в Россию без особого энтузиазма: помимо сурового климата, его ждала страна, где пользовались другим алфавитом. Однако это было самой меньшей из трудностей, поскольку Эйлеру легко давались иностранные языки: он хорошо знал латынь, греческий, французский и немецкий и добавил к этому списку еще и русский. Этим Эйлер отличался (в лучшую сторону) от других иностранных членов Академии. Здесь впервые появился заморский ученый, с которым можно было поговорить и чья речь была понятна, которому можно было писать, который потрудился научиться выражать свои мысли на местном языке. К тому же он обладал блестящей эрудицией и огромной любознательностью по отношению ко всему, что его окружало. Получив звание члена Академии картографии — один из многочисленных его титулов, — Эйлер восхищался российскими успехами и делал весьма лестные сравнения с западной картографией, с которой был знаком до этого.