Теорема о треугольных числах напоминает знаменитую гипотезу Гольдбаха, сформулированную Кристианом Гольдбахом (1690-1764). В ней утверждается, что любое четное натуральное число, большее 2, может быть выражено в качестве суммы двух простых чисел. А это означает, что любое нечетное число, большее 5, может быть выражено в качестве суммы трех или меньше простых, поскольку если оно само по себе не простое, достаточно сложить простое число 3 и четное число, меньшее этого числа на три единицы. Однако Гауссу удалось доказать свой результат, в то время как гипотеза Гольдбаха все еще не доказана в строгом виде. Этот пример объясняет, почему в математике придается такое значение доказательству. Гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чисел, меньших 1014 (числа невообразимой величины), но она не принята в качестве математического результата и так и не стала теоремой, оставаясь простой гипотезой.
В 1788 году, в возрасте 11 лет, Гаусс с помощью своего наставника Бюттнера, несмотря на все сопротивление отца, поступил в гимназию св. Катарины. Благодаря усилиям матери и дяди со стороны отца удалось убедить Гебхарда отказаться от помощи сына и позволить ему получить дальнейшее образование. Программа обучения в новой школе была более упорядоченной, а число учеников в классе — небольшим. Карл изучал латынь и греческий, что было необходимым требованием для получения высшего образования и академической карьеры. Латынь в то время была международным языком науки. Через два года Гаусс достиг высшей ступени среднего образования.
В эти же годы слава о юноше распространилась в образованных кругах Брауншвейга-Вольфенбюттеля и наконец достигла ушей герцога Карла Вильгельма Фердинанда (1735-1806), которому Гаусс и был представлен в 1791 году. Титул герцога Брауншвейгского начиная с 1235 года получали представители династии Вельфов, управлявшие небольшими территориями на северо-западе Германии. Титул переходил по мужской линии, поскольку в это время действовал салический закон, запрещающий женщинам наследовать власть. Молодой Гаусс произвел на герцога столь сильное впечатление, что тот назначил юноше годовую стипендию для продолжения обучения. Подобное меценатство не было обычным для того времени и в таком маленьком государстве, как Брауншвейг, и оно позволило Гауссу преодолеть социальные барьеры, стоявшие перед ним из-за его происхождения. Следует отметить, что этот великий математик никогда не достиг бы таких успехов без помощи людей, заинтересованных в развитии его огромного таланта. Важную помощь он получил также от Циммермана (1743-1815), преподавателя закрытой школы «Коллегия Карла» (Collegium Carolinum) и советника герцога, который и настоял на помощи мецената молодому и талантливому юноше. Гаусс пользовался поддержкой герцога до 1806 года, пока его благодетель не погиб от ран, полученных в битве при Йене, где французские войска разгромили Пруссию и ее союзников, в числе которых было и государство Брауншвейг. Через год после смерти герцога Гаусс был назначен директором Гёттингенской обсерватории и благодаря этому смог получить средства для существования. Итак, с помощью Циммермана Гаусс стал студентом Коллегии Карла, где учился с 1792 по 1795 год. Дружба между Гауссом и Циммерманом длилась до смерти последнего в июле 1815 года.
Такие учебные заведения, как Коллегия Карла, не были редкостью в Германии, стране, которая на тот момент была образована несколькими независимыми государствами. Они представляли собой промежуточный этап между гимназиями, в которых дети получали элементарное образование, и университетами. В таких школах получали базовое образование будущие военные, архитекторы, инженеры, механики и коммерсанты. На этом же этапе происходила и специализация учеников в разных областях. Здесь изучали древние и современные языки, христианскую мораль и догматику, философию, историю и литературу, статистику, законы, математику, физику и естественную историю. Также в программе присутствовали занятия по рисованию и другим дисциплинам, развивающим творческие способности учащихся. Привилегированные закрытые школы стали примером новаторского подхода к образованию: здесь преподаватели старались сформировать личность, а не только давать знания. Это были элитные учебные заведения, в которых получили образование многие известные писатели и ученые конца XVIII — начала XIX века. Публичное образование в Брауншвейге было одной из сфер, в которой прогресс был наиболее очевидным, и судьба Гаусса — пример того, как человек простого происхождения мог получить в то время высшее образование.
Портрет Гаусса, написанный около 1803 года, когда великому немецкому гению было 26 лет. Это был самый плодотворный этап деятельности великого математика. За два года до этого он опубликовал свою первую великую работу, «Арифметические исследования».
Особого упоминания заслуживает библиотека Коллегии Карла с прекрасной подборкой классической математической литературы. Гаусс учился в Коллегии до 1795 года. Он изучал классические языки, литературу, философию и, естественно, высшую математику, демонстрируя блестящие успехи во всех областях. Среди математических книг, которые он штудировал в то время, были «Математические начала» Ньютона (1642— 1727), «Искусство предположений» Якоба Бернулли (1654— 1705), работы Лагранжа (1736-1813) и некоторые мемуары Эйлера. Особенно привлекали будущего ученого работы Ньютона, которого он считал математическим гением и примером для подражания.
В Коллегии Карла Гаусс начал некоторые математические исследования, связанные с распределением простых чисел и основами геометрии. Прогресс ученого, должно быть, удовлетворял герцога, который из года в год увеличивал финансовую поддержку.
Осенью 1795 года, в возрасте 18 лет, Гаусс оставил родной Брауншвейг и переехал в Гёттинген, маленький ганноверский город, известный благодаря своему университету.
Юноша отправился в путешествие вопреки желанию герцога Брауншвейгского, который хотел, чтобы его подопечный продолжал обучение в местном университете в Хельмштедте. Но несмотря на это меценат продолжил оказывать Гауссу финансовую поддержку. Гёттингенский университет носил имя Георга Августа — в честь короля Англии Георга II, который также был курфюрстом Ганновера. Храм наук был задуман по модели Оксфорда и Кембриджа, что означало большую независимость от церковного влияния и лучшее качество образования. Гаусс получил свободу в своих академических обязанностях и мог самостоятельно выбирать предметы и наставников, что было очень благоприятно для его образования.
Гёттинген (нем. Gottingen) впервые упомянут как Gutingi в документе императора Священной Римской империи Оттона I. К началу XIII века Гёттинген уже обладал правами города. С 1584 года он принадлежал княжеству Брауншвейг-Вольфенбюттель, а в 1692 году перешел в подчинение княжеству Ганновер. Поскольку королева Великобритании Анна умерла, не оставив наследников, в 1714 году представитель ганноверской династии стал королем Великобритании под именем Георга I. С этого времени и до 1837 года интересы Ганновера и Великобритании совпадали, за исключением периода наполеоновских войн. В 1806 году княжество некоторое время находилось под контролем Пруссии, а в 1807-м вошло в состав королевства Вестфалия, созданного Наполеоном. Эти территориальные изменения были отменены после разгрома Наполеона, и в 1813 году Гёттинген вернулся под контроль Ганновера, ставшего в 1814 году королевством. Не считая этого периода, город, в котором поселился Гаусс, жил спокойной жизнью за средневековыми стенами. В эти годы в программе обучения университета преобладала теология, но к моменту назначения Гаусса преподавателем астрономии и директором городской обсерватории в 1807 году главными дисциплинами уже стали научные. Не стоит и говорить, что благодаря Гауссу этот университет получил широкую известность и привлекал студентов и ученых.