Чтобы положить ломтик хлеба в тостер, требуется затратить 3 с. Еще 3 с уходит на то, чтобы вынуть каждый ломтик из тостера, и 3 с требуется для того, чтобы повернуть ломтик на другую сторону, не вынимая его из тостера. Каждую из этих операций необходимо производить двумя руками. Это означает, что ли одну из них нельзя выполнить одновременно над двумя ломтиками хлеба. Кроме того, пока мы кладем ломтик хлеба в тостер, вынимаем его оттуда или переворачиваем, его нельзя намазать маслом. Ломтик хлеба поджаривается с одной стороны за 30 с. Намазать ломтик хлеба маслом можно за 12 с.
Каждый тост требуется намазать маслом только с одной стороны. Намазывать маслом неподжаренную сторону запрещается. Ломтик хлеба, поджаренный и намазанный маслом с одной стороны, можно снова положить в тостер, чтобы поджарить с другой стороны. Сразу после включения тостер нагревается до рабочей температуры. Сколько времени потребуется, чтобы поджарить с двух сторон 3 ломтика хлеба и каждый из них намазать маслом?
Нетрудно спланировать все операции так, чтобы 3 ломтика поджаренного хлеба с маслом были готовы за 2 мин. Но 9 с можно сэкономить, если вам удастся набрести на следующую счастливую идею: ломтик хлеба можно поджарить с одной стороны не до конца, затем вынуть из тостера и дожарить позже. При таком подходе время на приготовление 3 ломтиков поджаренного хлеба с маслом удается сократить до 114 с. Но даже для тех, кому удается подобрать ключ к решению, составление оптимального графика выполненных операций остается далеко не легкой задачей. Что же касается бесчисленных проблем на составление самых экономичных последовательностей операций в различных областях человеческой деятельности, то они требуют для своего решения сложных математических методов, обращения к ЭВМ и современной теории графов.
Упрямые плитки
Площадка перед домом мистера Брауна выложена 40 квадратными плитками. Со временем некоторые плитки треснули, и мистер Браун решил покрыть площадку заново.
Он отправился в магазин и выбрал новые плитки, которые имели форму прямоугольников, составленных из двух квадратов размером в старую плитку.
Владелец магазина. Сколько вам нужно плиток, мистер Браун?
Мистер Браун. Мне нужно покрыть 40 квадратов. Думаю, что 20 плиток будет достаточно.
Но когда м-р Браун попытался вымостить площадку новыми плитками, то ничего хорошего из этого не получилось. Как он ни старался, уложить плитки так, чтобы они покрыли всю площадку, это ему не удалось.
Бетси. Что случилось, папа? Чем ты так озабочен?
М-р Браун. Никак не могу уложить эти проклятые плитки! Как ни бьюсь, два квадрата остаются непокрытыми. С ума можно сойти!
Дочь мистера Брауна начертила план площадки, раскрасила квадраты в шахматном порядке и в течение нескольких минут внимательно разглядывала свой рисунок.
Бетси. Есть идея! Я поняла, почему у тебя ничего не получается, папа! Все дело в том, что каждая новая плитка должна накрывать один белый и один черный квадрат.
Какое отношение это имеет к делу? Что Бетси имеет в виду?
На плане площадки 21 черный квадрат и 19 белых квадратов. Следовательно, после того, как уложено 19 новых плиток, 2 черных квадрата неизменно остаются непокрытыми, и покрыть их одной новой плиткой невозможно. Единственный способ выйти из затруднения — расколоть новую плитку на два квадрата.
Дочь мистера Брауна нашла способ покрыть площадку прямоугольными плитками, воспользовавшись рассуждением, известным под названием «проверка на четность». Мы говорим о двух числах, что их четность одинакова, если они либо оба четны, либо оба нечетны. Если одно число четно, а другое нечетно, то говорят, что их четность различна. С подобными ситуациями неоднократно приходится сталкиваться в комбинаторной геометрии.
В нашей задаче два квадрата одного цвета обладают одинаковой четностью, а четность двух квадратов различных цветов различна. Прямоугольная плитка покрывает только квадраты различной четности. Бетси доказала, что если 19 прямоугольных плиток уложить на площадке перед домом, то 2 оставшихся квадрата можно было бы покрыть последней прямоугольной плиткой, если бы их четность была одинаковой. А поскольку четность двух оставшихся квадратов всегда одинакова, то покрыть их последней плиткой невозможно. Следовательно, покрыть площадку перед домом новыми плитками также невозможно.