Чтобы решить эту задачу, необходимо принять во внимание два соображения. Во-первых, понять, что наименьший набор отрезков золотой цепочки, позволяющий оставить у портье любое число звеньев от 1 до 7, состоит из 3 отрезков длиной в 1, 2 и 4 звена. Как мы уже знаем из решения предыдущей задачи, эти числа — не что иное, как последовательные степени числа 2, положенные в основу двоичной системы счисления.
Во-вторых, необходимо понять, что разделить браслет на части длиной в 1, 2 и 4 звена можно распилив одно-единственное звено.
Задача допускает обобщение на случай, когда браслет или цепочка состоят более чем из 7 звеньев. Например, пусть у Глории имеется с собой золотая цепочка из 67 звеньев, которую необходимо распилить с той же целью, что и злосчастный браслет, — для уплаты за проживание в гостиничном номере от 1 до 67 суток по 1 звену за сутки. Оказывается, что в этом случае достаточно распилить лишь 3 звена. Вы знаете, какие именно? Может быть, вы можете предложить общий метод решения задачи, позволяющий распиливать минимальное число звеньев цепи произвольной длины?
Интересный вариант этой задачи возникает в том случае, если первоначально концы n-звенной цепочки соединены так, что цепочка превратилась в замкнутую петлю. Например, предположим, что у Глории есть золотая цепочка из 79 звеньев. Сколько звеньев необходимо распилить, чтобы Глория могла оплатить от 1 до 79 суток пребывания в гостинице из расчета по 1 звену за сутки?
Глава 2
Геометрические находки
Неожиданные решения задач о геометрических телах и фигурах
Геометрия занимается изучением свойств тел и фигур, хотя такое определение настолько широко, что почти лишено смысла. Так, оно позволяет считать геометром члена жюри любого конкурса красоты, поскольку тот судит о «свойствах тел и фигур», хотя под телами и фигурами он понимает нечто иное, чем геометр. Когда о какой-нибудь линии кто-либо замечает, что она необычайно изящна или выразительна, то, хоть речь идет о кривой, то есть объекте, действительно изучаемом в геометрии, само высказывание относится скорее к области эстетики, чем к математике.
Попробуем уточнить, что такое геометрия, и определим ее с помощью такого понятия, как симметрия. Под симметрией принято понимать такое преобразование фигуры, которое оставляет фигуру неизменной. Например, буква H симметрична относительно поворота на 180°. Это означает, что если букву H повернуть на 180° (поставить «вверх ногами»), то она перейдет в фигуру, неотличимую от буквы H в исходном положении (разумеется, при условии, если перекладина в букве H находится строго посредине). Слово «AHA», стоящее на обложке этой книги, обладает зеркальной, или двусторонней симметрией: если приставить к нему справа или слева зеркало, то зеркальное отражение слова будет неотличимо от оригинала.
Любой раздел геометрии можно определить как науку о свойствах фигур, не изменяющихся при определенных преобразованиях симметрии. Например, евклидова геометрия на плоскости занимается изучением свойств, остающихся неизменными (инвариантных) при движении фигуры по плоскости, поворотах, зеркальных отражениях и равномерных сжатиях и растяжениях. Аффинная геометрия занимается изучением свойств, инвариантных относительно «перекашивания» фигуры. Проективная геометрия изучает свойства, инвариантные относительно проецирования. Топология имеет дело со свойствами, которые сохраняются неизменными, когда фигура претерпевает сколь угодно сильные искажения без разрывов и склеиваний, аналогичные деформациям фигуры, изготовленной из гибкого, растяжимого и прочного материала.
Хотя геометрические мотивы встречаются во всех главах нашей книги, в этой главе мы собрали задачи, в которых геометрический аспект имеет явное преимущество перед всеми остальными. При отборе предпочтение отдавалось таким задачам, которые при надлежащем подходе (и «везении») допускают простые и ясные решения. Первая же задача — о разрезании сыра — отчетливо показывает, как тесно переплетаются даже в простейших задачах «сферы влияния» самых различных разделов математики: ее можно рассматривать как задачу по планиметрии, стереометрии, комбинаторике, теории чисел. В этой же задаче нетрудно усмотреть и зачатки исчисления конечных разностей.
«Пасутся кони на другом поле», как ни странно, — топологическая задача. Метод нитей и пуговиц позволяет свести ее к задаче о точках на простой замкнутой кривой. Форма замкнутой кривой для решения задачи не имеет ни малейшего значения — важны лишь топологические свойства кривой. Мы приводим решение задачи для случая, когда точки расположены на окружности, но с тем же успехом мы могли взять кривую, образующую периметр квадрата или треугольника.