При помощи микрокалькулятора можно построить траектории черепашек — кривые, описываемое вершинами вращающегося и одновременно сжимающегося квадрата, если нанести на диаграмму последовательные положения вершин через определенные промежутки времени. Результат такого рода выкладок представлен на рис. 10.
Можете ли вы обобщить задачу на случай, когда в исходной позиции точки расположены в вершинах любого правильного многоугольника? Начните с равностороннего треугольника, затем перейдите к правильному пятиугольнику и т. д. Можете ли вы указать общую формулу, позволяющую по известной длине стороны исходного многоугольника вычислять длину пути? Что произойдет в предельном случае, когда бесконечно много точек (черепашек) начинают двигаться по направлению к своим соседям справа (или слева) и вершин многоугольника с бесконечным числом сторон? Встретятся ли они когда-нибудь? Предположим теперь, что исходные многоугольники неправильные. Что произойдет, например, если четыре черепашки займут исходные позиции в вершинах прямоугольной, а не квадратной комнаты?
Предположим, что черепашки Тома Пиццы после встречи в центре комнаты расползаются, причем каждая из них движется по прямой от своего соседа слева? Можно ли утверждать, что черепашки непременно расползутся по углам комнаты?
Экономия на спичках
Однажды Мабель вздумала показать проф. Квибблу головоломку из спичек.
Мабель. Нужно построить четыре одинаковых по размеру квадрата, передвинув только 2 спички. Ломать спичку, укладывать их по две или так, чтобы они пересекались, не разрешается.
Проф. Квиббл. Ваша головоломка, милая Мабель, известна давным-давно. Чтобы решить ее, нужно передвинуть вот эти 2 спички.
Затем проф. Квиббл отложил 4 спички, после чего на столе осталось 12 спичек.
Проф. Квиббл. Попробуйте составить из этих 12 спичек 6 единичных квадратов (со стороной, равной длине спички).
Сколько Мабель ни билась, решить головоломку проф. Квиббла ей так и не удалось. Не могли бы вы помочь Мабель?
Мабель упустила из виду одно важное обстоятельство: ставя задачу, проф. Квиббл не говорил, что спички должны оставаться на плоскости. Если же выйти из плоскости в трехмерное пространство, то из 12 спичек можно составить 12 ребер куба, у которого, как известно имеется 6 квадратных граней. Мы видим, что ключ к решению спичечной головоломки проф. Квиббла аналогичен идее, позволившей Рози по-новому разрезать головку сыра.
Более известен другой вариант той же задачи, в котором из 6 спичек требуется составить 4 одинаковых равносторонних треугольника. Решение состоит в том, чтобы из 6 спичек построить каркас правильного тетраэдра.
А вот еще 6 «спичечных» задач на сообразительность. Удастся ли вам их решить?
1. Передвинув как можно меньше спичек, составьте квадрат.
2. Уберите как можно меньше спичек так, чтобы оставшиеся спички образовали 4 равносторонних треугольника таких же размеров, как и 8 треугольников в исходной конфигурации, и нигде не торчали свободные концы.
3. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте рыбку плыть в противоположную сторону.
4. Передвинув как можно меньше спичек, заставьте поросенка повернуться в противоположную сторону.
5. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките вишенку из бокала. «Пустой» бокал не обязательно должен стоять на ножке: он может лежать на боку. Передвигать вишенку запрещается.
6. Передвинув как можно меньше спичек, извлеките оливу из бокала для коктейля. Как и в предыдущей задаче, пустой бокал не обязательно должен стоять. Передвигать оливу запрещается.
Поместив решения этих забавных головоломок, мы бы только испортили вам удовольствие. Сообщаем лишь, что первую задачу можно решить, передвинув 1 спичку, вторую — убрав 4 спички, третью, четвертую и пятую — передвинув соответственно 3, 2 и 2 спички, шестую — не передвинув ни одной спички.
Хитроумные разбиения
Рэнсом — землемер, который специализируется в разбиении участков самой причудливой формы на конгруэнтные части.
Однажды его попросили разделить вот такой участок на 4 одинаковые части. Как это сделать?
Разделить участок можно единственным способом — так, как показано на рисунке.
В следующий раз Рэнсому понадобилось разделить на 4 конгруэнтные части участок, имевший форму равнобочной трапеции. Сделать это было нелегко.