2xy + (х² + у²)³
можно записать как
2 * X * Y + (X ↑ 2 + Y ↑ 2) ↑ 3
Некоторые другие имена, в частности имена функций, также будут идентификаторами.
Для манипуляций с рациональными функциями нам нужны некоторые команды, чтобы пользователь мог получать ответы на вопросы, на которые не удается ответить с помощью традиционных языков программирования. Для этого нам понадобится обозначать рациональные функции идентификаторами. Самое фундаментальное действие такое:
Установить f равным р; Эта команда приводит к тому, что имя рациональной функции f (мы будем писать сокращенно — имя функции) получает в качестве значения рациональную функцию р. Эта операция — символьная; она не вызывает вычисления р. Если некоторый идентификатор f использован как имя функции, то его нельзя употреблять в последующих командах в качестве переменной; надо иметь в виду, что во время интерпретации потребуется таблица имен, значений и использований. Вместо рациональной функции р может стоять имя функции; в этом случае f получает значение, которое в данный момент имеет р. Все команды заканчиваются точкой с запятой. Примеры описываемой команды:
Установить Р равным z*x↑2 + 3.5; Установить fpt равным Р;
Бо́льшая часть остальных команд выполняет некоторую операцию над своими операндами и помещает результат в качестве значения некоторого имени функции.
Установить f равным сумме р и q; Образовать алгебраическую сумму р и q и записать полученное значение под именем f. Во всех командах исходные данные записываются в свободном формате — границы строк (или перфокарт) несущественны; единственным разделителем команд служит точка с запятой. Операндами могут быть имена функций; в таком случае в операциях используются значения, приписанные этим именам.
Установить f равным разности р минус q; Образовать алгебраическую разность р и q и записать полученное значение под именем f.
Установить f равным произведению р и q; Образовать алгебраическое произведение р и q и записать результат под именем f.
Установить f равным частному при делении р на q; Образовать алгебраическое частное р и q и записать результат под именем f. Для выполнения этой операции не нужно привлекать алгоритм деления многочленов, так как рациональная функция может включать один знак деления. Последующие знаки деления могут быть устранены при помощи школьной алгебры.
Установить f равным р в степени с; Рациональная функция р возводится в степень с, и результат записывается под именем f. Показатель степени с должен быть целым числом или именем функции с постоянным значением; если с отрицательно, результатом будет 1/р|с|.
Установить f равным р с заменой х на q; Заменить каждое вхождение переменной х в р на q и записать полученное значение под именем f. Отметим, что в результате подстановки переменная х может снова возникнуть в f, но ее не следует вновь заменять на q.
Установить f равным производной р по х; Вычислить производную dp/dx и записать полученное значение в f. Конечно, идентификатор х должен быть переменной или именем функции, состоящей из одной переменной.
Напечатать р; Напечатать рациональную функцию р в удобном для чтения виде.
Конец; Завершение последовательности команд.
При реализации команды печати мы сталкиваемся с трудностью, присущей всем программам алгебраических преобразований. При вычислениях функции, как правило, становятся очень сложными. Вместе с тем человек хотел бы получить результаты в достаточно простом виде. Рациональные функции записывают обычно в виде дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой сумму членов, включающих только операции умножения и возведения в степень. В каждом таком одночлене все константы перемножены и образуют числовой коэффициент (первый сомножитель), переменные упорядочены (часто по алфавиту) и все степени одной переменной объединены так, чтобы каждая переменная встречалась лишь один раз. Если числовой коэффициент оказывается отрицательным, то такой одночлен должен вычитаться из предыдущих, а не прибавляться к ним. Если коэффициент окажется равным нулю или единице, то весь одночлен или коэффициент должен быть опущен. Если показатель степени отрицателен, то одночлен фактически есть дробь; в этом случае нужно освободиться от знаменателя с помощью стандартных алгебраических правил суммирования дробей. И наконец, следует приводить подобные члены, т. е. объединять одночлены, имеющие одинаковые наборы переменных и степеней, с соответствующим изменением коэффициентов.