Патнэм строит свое доказательство, используя аппарат теории моделей (поэтому это доказательство и получило название "теоретико-модельного аргумента"). Мы не будем здесь воспроизводить это доказательство, поскольку это потребовало бы введения многих математических понятий. Мы ограничимся лишь изложением того примера, который Патнэм приводит в качестве иллюстрации, поскольку этот пример, на наш взгляд, хорошо раскрывает основную идею доказательства и достаточно прост для понимания.
В качестве отправного пункта Патнэм берет предложение:
(1) Кот находится на ковре.
Согласно теоретико-модельным представлениям, предложение (1) является истинным в тех возможных мирах, в которых по крайней мере один кот находится на ковре. При этом "кот" обозначает котов, "ковер" обозначает ковры, а отношение "находиться на" понимается безотносительно ко времени. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы показать возможность такой переинтерпретации предложения (1), при которой "кот" в действительном мире будет обозначать вишни, а "ковер" – деревья, однако значение истинности предложения (1) сохранится неизменным во всех возможных мирах. Для построения новой интерпретации Патнэм вводит обозначения "кот*" и "ковер*". В итоге мы получаем следующее предложение:
(2) Кот* находится на ковре*.
Итак, в новой интерпретации предложение (2) в действительном мире должно означать, что вишня находится на дереве. Патнэм начинает с того, что разбивает все возможные миры на три группы.
(a) В первую группу входят миры, в которых и предложение "Кот находится на ковре", и предложение "Вишня находится на дереве" являются истинными, то есть в этих мирах по крайней мере один кот находится на ковре и по крайней мере одна вишня находится на дереве.
(b) Во вторую группу входят возможные миры, в которых предложение "Кот находится на ковре" является истинным, а предложение "Вишня находится на дереве" является ложным, то есть в этих мирах по крайней мере один кот находится на ковре, и ни одна вишня не находится на дереве.
(c) В третью группу входят, во-первых, возможные миры, в которых предложение "Кот находится на ковре" является ложным, а предложение "Вишня находится на дереве" является истинным, и, во-вторых, возможные миры, в которых оба рассматриваемых предложения являются ложными.
Как мы видим, в основе указанного разделения возможных миров лежит обычная таблица истинности. На основе этого разделения Патнэм предлагает следующую интерпретацию для "кота*" и "ковра*":
x является котом*, если и только если имеет место случай (a) и x является вишней; или имеет место случай (b) и x является котом, или имеет место случай (c) и x является вишней.
y является ковром*, если и только если имеет место случай (а) и y является деревом; или имеет место случай (b) и y является ковром; или имеет место случай (c) и y является кварком.
Конечно, Патнэм признает, что предложенная им интерпретация является очень неестественной, поскольку в одних возможных мирах "кот*" обозначает вишни, а в других – котов; "ковер*" же вообще в одних возможных мирах обозначает деревья, в других – ковры, а в третьих – кварки. Однако нам ничто не запрещает построить такую интерпретацию, и благодаря ей получается, что "Кот находится на ковре" и "Кот* находится на ковре*" имеют одинаковые значения истинности во всех возможных мирах. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим по очереди все три группы возможных миров. В возможных мирах, входящих в первую группу, предложение "Кот находится на ковре" является истинным, и предложение "Кот* находится на ковре*" также является истинным, поскольку "кот*" обозначает вишни, а "ковер*" обозначает деревья. В возможных мирах, входящих в группу (b), предложения "Кот находится на ковре" и "Кот* находится на ковре*" также являются истинными, поскольку в этом случае "кот*" обозначает котов, а "ковер*" обозначает ковры. В возможных мирах, входящих в группу (c), предложения "Кот находится на ковре" и "Кот* находится на ковре*" являются ложными, поскольку "кот*" обозначает вишни, а "ковер*" обозначает кварки, а предложение "Вишня находится на кварке" является ложным. Кроме того, следует учитывать, что действительный мир относится к первой группе возможных миров, поскольку в нем предложения "Кот находится на ковре" и "Вишня находится на дереве" являются истинными. Теперь мы можем переинтерпретировать слово "кот", приписав ему интенсионал слова "кот*", и одновременно переинтерпретировать слово "ковер", приписав ему интенсионал слова "ковер*". В результате мы получили требуемую интерпретацию. На основе этого доказательства Патнэм делает вывод, что можно радикальным образом переинтерпретировать части предложения, сохранив значение предложения в целом (его значение истинности) неизменным.