Исследования в области оснований математики разделяются на два вида: концептуальный и доктринальный. Концептуальные исследования имеют дело со значением [языковых выражений], доктринальные — с их истинностью. Концептуальные исследования связаны с прояснением понятий путем их определения в других терминах. Доктринальные исследования связаны с установлением законов путем их доказательства; в некоторых случаях это доказательство осуществляется на основе других законов. В идеале более смутные понятия требуется определять в терминах более ясных, с тем чтобы максимально увеличить ясность, и менее очевидные законы следует доказывать, исходя из более очевидных, с тем чтобы максимально увеличить достоверность. В идеале определения должны порождать все понятия из ясных и отчетливых идей, а доказательства должны порождать все теоремы из самоочевидных истин. (С. 368)
<...> Редукция в основаниях математики остается математически и философски завораживающей, однако она не дает эпистемологу того, что он хочет от нее получить: она не раскрывает оснований математического знания, она не показывает, как достижима математическая достоверность.
Все же сохраняет силу полезная мысль, рассматривающая эпистемологию в целом с точки зрения той двойственности ее структуры, которая так бросается в глаза в основаниях математики. Я имею в виду разделение не теорию понятий, или значения, и доктринальную теорию, или теорию истины; ведь это разделение применимо к естествознанию не в меньшей степени, чем к основаниям математики. Эта параллель состоит в следующем. Точно так же, как математика должна быть сведена к логике, или же к логике и теории множеств, естественно-научное знание должно опираться на чувственный опыт. В том, что касается концептуальной стороны исследования, это означает объяснение понятия тела в терминах чувственных данных. В свою очередь, в том, что касается доктринальной стороны исследования, это означает обоснование нашего знания истин природы в терминах чувственно данного. (С. 369)
В том, что касается доктринальной стороны, мы в настоящее время вряд ли продвинулись дальше Юма. <...> Но в концептуальной части произошел прогресс. Решающий шаг вперед был сделан <...> Бентамом в его теории фикций. Он заключался в признании контекстуальных определений, или того, что он называл перефразировкой. Он признал, что для того, чтобы объяснить термин, нет никакой необходимости ни выделять тот объект, к которому он относится, ни выделять синонимичное слою или фразу; достаточно показать при помощи каких угодно средства, как перевести псе предложение, в котором используется данный термин. Безнадежный способ идентификации тел с впечатлениями, практиковавшийся Юмом и Джонсоном, перестает быть единственным мыслимым способом осмысленного разговора о телах, даже если мы придерживаемся взгляда, что впечатления являются единственной реальностью. Можно было бы попытаться объяснить высказывания о телах в терминах высказываний о впечатлениях, путем перевода целых предложений в толах в целые предложения о впечатлениях, не приравнивая сами тела к чему-либо. Идея контекстуального определения, или признания предложения первейшим носителем значения, была неотделима от последующего развития оснований математики. Она становится ясной уже у Фреге и достигает полного расцвета в учении Рассела о единичных описаниях как неполных символах. Контекстуальное определение было одним из двух спасительных средств, оказавших освобождающее воздействие на концептуальную сторону эпистемологии естественно-научного знания. Вторым было развитие теории множеств и использование ее понятий в качестве вспомогательных средств в рамках эпистемологии. Эпистемолог, желающий пополнить свою скудную онтологию чувственных впечатлений теоретико-множественными конструктами, внезапно становился очень богатым; теперь ему приходится иметь дело не только со своими впечатлениями, но и с множествами впечатлений, и с множествами множеств и так далее. Построения в рамках оснований математики показали, что такие теоретико-множественные средства оказывают нам мощную поддержку <...>
С другой стороны, обращение за помощью к множествам является решительным онтологическим движением, знаменующим избавление от скудной онтологии впечатлений. Существуют философы, которые скорее откажутся от признания тел вне нас, чем примут все эти множества, которые составляют, помимо всего прочего, всю абстрактную онтологию математики.