34. Все развитие, приведшее к перевороту в понимании геометрии, следует признать за здоровое и сильное движение. Подготовляемое столетиями, значительно усилившееся в наши дни, оно никоим образом не может считаться уже законченным. Напротив, следует ожидать, что движение это принесет еще богатейшие плоды — и именно в смысле теории познания — не только для математики и геометрии, но и для других наук. Будучи обязано, правда, мощным толчкам некоторых отдельных выдающихся людей, оно, однако, возникло не из индивидуальных, но общих потребностей. Это видно уже из одного разнообразия профессий людей, которые приняли участие в движении. Не только математики, но и философы и дидактики внесли свою долю в эти исследования. И пути, проложенные различными исследователями, близко соприкасаются. Мысли, высказанные Лейбницем, встречаются вновь в мало измененной форме у Фурье, Лобачевского, Я. Бояи, Х. Эрба. Философ Ибервег, который в своей оппозиции против Канта примыкал по существу к психологу Бенеке, а своими геометрическими рассуждениями — к Х. Эрбу (в свою очередь называющему своим предшественником К.А. Эрба), своими исследованиями в значительной мере расчистил почву для работ Гельмгольца.
35. Результаты, к которым привели нас предыдущие рассуждения, можно сжато выразить так:
1) Опыт был признан источником наших геометрических понятий.
2) Была выяснена множественность понятий, удовлетворяющих одним и тем же геометрическим фактам.
3) Сравнением пространства с другими многообразиями были получены более общие понятия, для которых понятия геометрические составляют частный случай. Этим геометрическое мышление было освобождено от традиционных границ, считавшихся непереходимыми.
4) Указанием многообразий, родственных пространству, но от него отличных, были возбуждены совершенно новые вопросы:
Что такое пространство физиологически, физически, геометрически? К чему сводятся его особые свойства, так как мыслимы и другие? Почему пространство трехмерно? и т.д.
36. Эти вопросы, решения которых невозможно ожидать ни сегодня и ни завтра, изображают перед нами всю глубину того, что подлежит еще исследованию. Не будем вовсе говорить о суждениях непризванных «беотийцев», появление которых предвидел Гаусс и которые настраивали его к такой сдержанности. Но что нам сказать о той суровой придирчивой критике, которой подверглись мысли Гаусса, Римана и их товарищей со стороны людей, занимающих выдающееся положение в науке? Неужели им на себе самих не пришлось никогда испытать того, что исследователь на крайних границах знания находит часто то, что не может быть гладко и немедленно усвоено каждым умом и что тем не менее далеко не бессмысленно? Конечно, и такие исследователи могут впадать в ошибки. Но и ошибки иных людей бывают нередко по своим последствиям плодотворнее, чем открытия других. (С. 76-84)
АНРИ ПУАНКАРЕ. (1854-1912)
А. Пуанкаре (Poincari) известный французский математик и методолог науки. Докторскую степень получил в Национальной высшей школе, с 1881 года до конца жизни преподавал в Сорбонне, был президентом Французской академии наук. Автор многих работ в областях теоретической и прикладной математики, оптики, небесной механики, теории электричества, гидродинамики. Им написаны «Курс математической физики» в 12 томах, фундаментальный труд «Новые методы небесной механики» и многие другие работы, всего около 500. Известны также его работы по методологии естественных наук, в частности о природе математического умозаключения, математической индукции, об интуиции и логике в математике, о науке и реальности, о научной гипотезе, объективной ценности науки, морали и науке. Одна из наиболее дискуссионных проблем, обсуждавшихся Пуанкаре, — конвенции (соглашения) и конвенциональность в науке. Высказанные Пуанкаре идеи о «свободном соглашении» или «замаскированном соглашении», лежащих в основе науки, демонстрируют плодотворность коммуникативного подхода к исследованию познавательной деятельности и природы знания. На русский язык переведены его главные методологические работы: «Наука и гипотеза», «Ценность науки», «Наука и метод», объединенные в сборнике «О науке» (М., 1983).