Д. Гильберт (Хильберт) (Hilbert) — немецкий математик и логик, разработал программу обоснования математики, названную формализмом.
Гильберт — иностранный член-корреспондент (1922) и иностранный почетный член (1934) АН СССР, лауреат Международной премии имени Н.И.Лобачевского (1904). Его работы в различных областях математики, логики и оснований математики оказали значительное влияние на развитие математического познания в целом. В 1900 году на Международном конгрессе математиков в Париже им сформулированы 23 проблемы, которые на многие годы вперед определили направления исследований в области математики. Первые значительные результаты были получены Гильбертом в области теории инвариантов (1888). В дальнейшем он увлеченно и продуктивно занимался алгеброй и теорией чисел. С конца 1890-х годов в центре внимания Гильберта проблемы математического анализа (глубокие исследования по вариационному исчислению) и геометрии (создание аксиоматики). Последние годы своей жизни он занимался математической логикой. Программа обоснования математики путем ее полной формализации, которую разрабатывал Гильберт, оказалась нереализованной. Однако дальнейшая разработка логических оснований математических теорий во многом пошла по пути, который был им намечен.
Гильберт был разносторонним ученым, которому не чужды проблемы смежных с математикой наук. Он много занимался проблемами теоретической физики, в которой нашел практические применения теории интегральных уравнений, а в одной из своих работ очень близко подошел к общей теории относительности Эйнштейна. Его деятельность, по словам известного французского математика Ж. Дьедонне, нашла свое отражение даже в таких теориях, которые он сам никогда не разрабатывал. Она была примером аксиоматического мышления, стремления к логической строгости и взыскательной честности, воплощением идеала настоящего математика.
Среди наиболее важных работ, изданных на русском языке, можно назвать «Основания геометрии» (М.;Л., 1948), «Основы теоретической логики» (в соавт. с В. Аккерманом. М., 1947), «Наглядная геометрия» (в соавт. с С. Кон-Фоссеном. М, 1979), «Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики» (в соавт. с П. Бернайсом, 2-е изд. М., 1979), «Основания математики. Теория доказательств» (в соавт. с П. Бернайсом, М., 1979).
Б.Л. Яшин
Фрагменты даны по кн.:
Гильберт Д. Основания геометрии. М.;Л., 1948.
Просматривая и сравнивая между собою многочисленные работы, посвященные принципам арифметики и аксиомам геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями и случаями сходства между этими двумя предметами, замечаем, однако, и существенное различие в отношении метода исследования.
Припомним сначала, каким путем вводится понятие числа. Исходя из числа 1, обычно представляют себе что в процессе счета возникают следующие за ним целые рациональные положительные числа 2, 3, 4,... и развиваются законы счета с ними; затем приходят, опираясь на требование выполнимости вычитания во всех случаях к отрицательным числам; далее определяют дробные числа как пары чисел; в результате каждая линейная функция имеет корень, и, наконец, определяют действительное число как сечение или как фундаментальную последовательность, в силу чего всякая рациональная меняющая знак функция и вообще всякая непрерывная меняющая знак функция обращается где-либо в нуль. Этот метод введения понятия числа мы можем назвать генетическим методом, так как наиболее общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений.
Существенно иначе поступают при построении геометрии. Здесь обычно исходят из предположения о существовании всех элементов, т е. заранее предполагают, что существуют три системы вещей, а именно точки, прямые и плоскости, и затем, в существенном по примеру Евклида, устанавливают между этими элементами взаимоотношения посредством известных аксиом, а именно аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности. При этом возникает необходимость в доказательстве непротиворечивости и полноты этой системы аксиом, т е. требуется доказать, что применение установленных аксиом никогда не приведет к противоречию и, далее, что эта система аксиом достаточна для доказательства всех геометрических теорем. Избранный здесь способ исследования мы будем называть аксиоматическим методом.