Числа и математические символы составляют не только строительный материал, из которого подлинная теоретическая наука о природе стремится воздвигнуть свое здание; наряду с этим на протяжении всей истории человеческого духа существовала магия чисел, которая делает число символом земной и божественной действительности в совершенно ином смысле. Простое выражение и причудливое смешение обеих форм мы находим уже у Пифагора, этой таинственной личности в духовной истории Греции. Нечетные и четные числа, по Пифагору, представляют мужской и женский принципы. Число 4 — квадрат — становится символом справедливости (не является ли следом подобных представлений английское выражение «square deal»? [«честная сделка, честный поступок». — Fed.]). Для каждого числа от 2 до 7 у народов всех эпох и регионов можно указать множество магических значений; 3 и 7 играют особо выдающуюся роль, но во многих местах излюбленным является также и 9, «число ангелов». В своей «Vita Nuova» (XXX, 26-27) Данте говорит о Беатриче, что число 9 было числом ее подлинной сущности. Но и при самой рафинированной разработке теоретико-числовые свойства, которые приписываются числам в качестве источников их магической силы, всегда остаются простыми (математик сказал бы — слишком простыми). «Совершенные числа» Пифагора <...> — это самое сложное, что мы здесь находим. Платон перенял большую часть пифагорейской числовой мудрости, но число жителей идеального города, которое он положил равным 5040 = 7!, а также очень нежно описанное число, выражающее возраст зрелости в «Государстве», является, как кажется, его собственным нумерологическим изобретением. Августин и Филон много содействовали «теоретико-числовой экзегезе» [Экзегеза (экзегетика) — от греч. — объяснение. — Ред.] Священного писания. Средние века страстно предавались числовой магии. В народных суевериях до сих пор кое-что из этого сохранилось вживе, например, ужас перед числом тринадцать. Я причисляю сюда и астрологию — даже в том случае, когда ею прельщался такой просвещенный и глубоко проникший в истину ум, как Кеплер. Может быть, стоит проследить все это в исторической взаимосвязи, но от меня не надо ждать здесь более подробного обсуждения этой стороны математического символизма. Я хотел бы только указать на одну черту, которая кажется характерной для этого способа мышления: то, что имеет значение в магии чисел, — это их теоретико-числовые свойства; то, что имеет значение в естествознании, — их свойства в качестве величии. С точки зрения величины нет особой разницы, будет ли число жителей города 5040 или 5039; с точки зрения теории чисел между ними расстояние, как от земли до неба <...> Если в идеальном платоновском городе ночью умрет один житель и число жителей уменьшится до 5039, то весь город сразу придет в полный упадок. Пожалуй, одно из наиболее фундаментальных обстоятельств, которому Лейбниц пытался найти выражение в своем принципе непрерывности, состоит в том, что числа входят в объяснение природы благодаря тому, что они имеют характер величин, а не благодаря своим теоретико-числовым свойствам. Современный алгебраист сказал бы, что ситуация определяется не конечными, а бесконечными точками рациональных числовых полей. Было бы, может быть, очень забавно, если бы дела обстояли иначе, но они именно таковы. (С. 67-68)
<...> В основе всего знания лежит следующее: (1) интуиция, обычный для разума акт «видения» того, что ему дано; ограниченная в науке рамками Aufweisbare, интуиция в действительности простирается далеко за эти пределы. Как далеко надлежало бы входить здесь в Wesenschau [усмотрение сущности (нем.). — Ред.] феноменологии Гуссерля, я предпочитаю оставить во тьме. (2) Понимание и выражение. Даже в формализованной математике Гильберта мне необходимо понимать указания, которые даются мне в ходе общения с помощью слов относительно того, как обращаться с символами и формулами. Выражение есть активный аналог пассивного понимания. (3) Мышление о возможном. В науке весьма ограниченная форма такого мышления используется в тех случаях, когда, обдумывая возможности математической игры, пытаются удостовериться в том, что эта игра никогда не приводит к противоречию; гораздо более свободной формой является воображение, с помощью которого придумываются теории. Разумеется, именно здесь лежит источник субъективности относительно того направления, в котором развивается наука. Как некогда признал Эйнштейн, не существует логического пути, ведущего от опыта к теории, и тем не менее решения о том, до какой степени приемлемы теории, в конце концов оказываются однозначными. Мысленное представление возможного имеет такое же значение и для историка, пытающегося оживить прошлое. (4) Основа, которой является интуиция, понимание и мышление о возможном позволяет науке совершать некоторые практические действия, а именно конструировать символы и формулы — в математической области, строить измерительные устройства — в эмпирической области. Аналога этому в истории не существует. Ее место занимает герменевтическое истолкование, которое в конце концов берет начало из внутреннего осознания и познания самого себя. Следовательно, работа великого историка зависит от богатства и глубины его собственного внутреннего опыта. <...> (С. 77-78)