(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
=
ch θ
𝑟
=
=
(Косинус гиперболический
θ
𝑟
),
th θ
𝑟
•
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
=
sh θ
𝑟
=
=
(Синус гиперболический
θ
𝑟
),
Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид
Δ
𝑥
=
Δ
𝑥'
•
ch θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
•
sh θ
𝑟
,
Δ
𝑡
=
Δ
𝑥'
•
sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
•
ch θ
𝑟
.
(32)
Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости
Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения θ𝑟 систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.
Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение
sh θ𝑟
cs θ𝑟
=
th θ
𝑟
(33)
совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна
ch²θ
𝑟
-
sh²θ
𝑟
=
1
1-th²θ𝑟
-
th²θ𝑟
1-th²θ𝑟
=
=
1-th²θ𝑟
1-th²θ𝑟
=
1.
(34)
Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:
cos²(угол)
+
sin²(угол)
=
1.
(35)
Сравнение тригонометрических и гиперболических функций1)
1 Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.
Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos²α+sin²α=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его 𝑥- и 𝑦- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch²α-sh²α=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.
Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)²+(4/5)²=1
Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)²-(4/3)²=1
Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину
Разные знаки в соотношениях cos²α+sin²α=1 и ch²θ-sh²θ=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:
(Длина)
²
=
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
=
=
(
Δ
𝑥'
cos θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
sin θ
𝑟
)²
+
(-
Δ
𝑥'
sin θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
cos θ
𝑟
)²
=
=
(
Δ
𝑥')²
cos²θ
𝑟
+
2(
Δ
𝑥')(
Δ
𝑦')cos θ
𝑟
sin θ
𝑟
+
(
Δ
𝑦')²
sin²θ
𝑟
+
+
(
Δ
𝑥')²
sin²θ
𝑟
-
2(
Δ
𝑥')(
Δ
𝑦')sin θ
𝑟
cos θ
𝑟
+
(
Δ
𝑦')²
cos²θ
𝑟
=
=
[(
Δ
𝑥')²
+
(
Δ
𝑦')²]
⋅
(sin²θ
𝑟
+
cos²θ
𝑟
)
=
=
(
Δ
𝑥')²
+
(
Δ
𝑦')²
(подчёркнутые члены сокращаются).
Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение
cos²θ
𝑟
+
sin²θ
𝑟
=
1
играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).
Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал
Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении
ch²θ
𝑟
-
sh²θ
𝑟
=
1.
Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах: