д) Казалось бы, что разные знаки в законах (46) и (47) приводят к асимметрии между системами отсчёта, позволяющей провести различие между этими системами, что противоречило бы принципу относительности. Покажите, что если наблюдатель в каждой системе отсчёта ориентирует положительное направление своей оси 𝑥 в направлении движения другой системы относительно него, то все физические измерения, связанные с синхронизацией часов, дадут в каждой системе совершенно тождественные результаты. Иначе говоря, системы отсчёта нельзя различить с помощью и этого метода. Разница в знаках в приведённых выше уравнениях вызвана произвольным (и асимметричным) выбором общего для обеих осей 𝑥 положительного направления.
е) Полученные выводы иногда выражаются в виде утверждения, что «наблюдатель на ракете обнаруживает рассинхронизированность разных лабораторных часов между собой». Объясните, в чём ошибочность этой формулировки. Покажите, что для необходимых при этом измерений недостаточно одного-единственного наблюдателя на ракете. Как выразить полученные выше выводы безупречно корректно, чётко и ясно (хотя бы это оказалось значительно длиннее!)? ▼
12. Эвклидовы аналогии
а) Пусть в плоскости 𝑥𝑦 эвклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости 𝑥𝑦; постройте проекции стержня на оси 𝑥, 𝑦 и 𝑥', 𝑦'. Разберите аналогию между различием в значениях 𝑥-компонент длины стержня, измеренных в двух повёрнутых относительно друг друга эвклидовых системах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта, и покоящегося в системе ракеты стержня.
б) Разберите аналогию между замедлением времени и изменением длины 𝑦-компоненты стержня при переходе между повёрнутыми друг относительно друга эвклидовыми системами координат [см. часть (а)]. Назовите инварианты геометрии Эвклида и геометрии Лоренца.
в) Разберите аналогию между относительной синхронизацией часов и случаем двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых систем координат, когда точки на положительной части оси 𝑥 в одной системе координат будут иметь, скажем, отрицательные значения координаты 𝑦 в другой системе (и тем более отрицательные, чем дальше мы будем уходить от начала координат). ▼
13. Лоренцево сокращение. II
Пусть метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, направлен вдоль оси 𝑥'. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что стержень претерпел лоренцево сокращение, если измерит время, за которое этот стержень пролетает мимо одних из часов лабораторной системы, и умножит его на величину относительной скорости движения систем. ▼
14. Замедление хода часов. II
Два события происходят в одном и том же месте, но в разные моменты времени в системе отсчёта ракеты. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что промежуток времени между этими двумя событиями будет больше в его системе, если измерит расстояние между событиями в лабораторной системе и разделит его на величину относительной скорости движения систем. ▼
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Пусть время измеряется в секундах (пометим это индексом: 𝑡сек), а 𝑣𝑟 — относительная скорость лабораторной системы отсчёта и системы ракеты, выраженная в м/сек. Покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают тогда вид
𝑥'
=
𝑥 ch θ
𝑟
-
𝑐𝑡
сек
sh θ
𝑟
=
𝑥-𝑣𝑟𝑡сек
√1-(𝑣𝑟²/𝑐²)
,
𝑡
сек
-
𝑣
𝑟
𝑥
𝑡
сек
'
=-
𝑡
sh θ
𝑟
+
𝑡
сек
ch θ
𝑟
=
𝑐²
,
𝑐
√
1-(𝑣
𝑟
²/𝑐²)
(48)
где
𝑣𝑟
𝑐
=
th θ
𝑟
.
Запишите в тех же обозначениях и обратное преобразование Лоренца. ▼
16*. Вывод формул преобразования Лоренца
Воспользуйтесь следующим новым методом (принадлежащим Эйнштейну) для вывода формул преобразования Лоренца. Пусть ракета равномерно движется со скоростью β𝑟 в направлении оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта. Координаты 𝑥', 𝑦', 𝑧', 𝑡' произвольного события (например, взрыва) в системе отсчёта ракеты взаимно однозначно связаны с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 этого же события, измеренными в лабораторной системе. При этом 𝑦=𝑦' и 𝑧=𝑧' (расстояния в направлениях, перпендикулярных движению, совпадают в обеих системах). Что же касается связи между 𝑥, 𝑡 и 𝑥', 𝑡' то предположим существование линейной зависимости
𝑥
=
𝑎𝑥'
+
𝑏𝑡'
,
𝑡
=
𝑒𝑥'
+
𝑓𝑡'
.
Здесь четвёрка коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑒 и 𝑓 1) неизвестна, 2) не зависит ни от 𝑥, 𝑡, ни от 𝑥', 𝑡' 3) зависит лишь от относительной скорости β𝑟 движения этих двух систем отсчёта.
Найдите отношения 𝑏/𝑎, 𝑒/𝑎, 𝑓/𝑎 как функции скорости β𝑟, исходя лишь из следующих трёх предположений: 1) световая вспышка, происшедшая в 𝑥=0, 𝑡=0 (𝑥'=0, 𝑡'=0) распространяется вправо со скоростью света в обеих системах отсчёта (𝑥=𝑡, 𝑥'=𝑡') 2) световая вспышка, происшедшая в 𝑥=0, 𝑡=0 (𝑥'=0, 𝑡'=0), распространяется влево со скоростью света в обеих системах отсчёта (𝑥=-𝑡, 𝑥'=-𝑡') 3) точка 𝑥'=0 обладает в лабораторной системе отсчёта скоростью β𝑟.
Теперь используйте четвёртое предположение — инвариантность интервала (разд. 5): 4) 𝑡²-𝑥²=(𝑡')²-(𝑥')² и найдите с его помощью величину постоянной 𝑎, а тем самым значения всех 4 коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑒 и 𝑓. Согласуются ли полученные таким путём результаты с лоренцевыми значениями коэффициентов преобразования? ▼
17*. Собственная длина и собственное время
а) Пусть два события 𝑃 и 𝑄 разделены пространственноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли одновременно. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты расстояние между данными событиями равно собственному расстоянию а между ними. (Один из путей: предположим, что такая система отсчёта действительно существует, а затем с помощью формул преобразования Лоренца покажем, что относительная скорость этой системы меньше скорости света (β𝑟<1), что и оправдывает сделанное предположение).
б) Пусть два события 𝑃 и 𝑅 разделены временноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты промежуток времени между данными событиями равен промежутку собственного времени τ между ними. ▼
18*. Плоскость обоюдного согласия
В каждый момент имеется лишь одна плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают. Покажите, что скорость движения этой плоскости в лабораторной системе отсчёта равна th (θ𝑟/2), где θ𝑟 — параметр относительной скорости лабораторной системы отсчёта и системы ракеты. ▼
19*. Преобразование углов
Метровый стержень покоится в системе отсчёта ракеты под углом φ' с осью 𝑥. Под каким углом φ ориентирован тот же метровый стержень к оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта? Чему равна длина этого стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта? Предположим теперь, что направления электрических силовых линий вокруг точечного заряда преобразуются так же, как направление метрового стержня, направленного вдоль той же линии. Качественно изобразите электрические силовые линии изолированного точечного положительного заряда, покоящегося в системе отсчёта ракеты, если их рассматривать: а) в системе отсчёта ракеты и б) в лабораторной системе отсчёта. Какие отсюда можно получить выводы о силах, действующих в лабораторной системе отсчёта на покоящиеся в этой системе пробные заряды, окружающие наш движущийся заряд? ▼