32.* Размеры инерциальной системы
Насколько велика может быть данная область пространства (Δ𝑥=Δ𝑦=Δ𝑧=𝐿 в метрах), насколько долго её можно исследовать (Δ𝑡 в метрах!) и насколько близко она может быть расположена к центру гравитационного притяжения, чтобы ещё нельзя было заметить существенного отличия е этой области от идеальной инерциальной системы отсчёта?
а) Отличие первого рода: относительное ускорение перпендикулярно направлению притяжения.
Рис. 46. Освобождённые на одинаковой высоте (лежащие на одной горизонтали) грузы приближаются друг к другу в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).
1) Частный случай. Два массивных шарика высвобождаются в состоянии покоя; оба находятся на высоте 250 м над поверхностью Земли; расстояние между ними -25 м (рис. 46). Покажите, что расстояние между ними уменьшится примерно на 10⁻³ м, прежде чем они упадут на Землю. (Воспользуйтесь методом подобных треугольников или каким-нибудь близким методом. Этот пример обсуждался нами на стр. 19). Время падения с высоты 250 м с ускорением 9,8 м/сек² равно приблизительно 7 сек, или 21⋅10⁸ м светового времени. Итак, падающий железнодорожный вагон может рассматриваться как инерциальная система отсчёта при условиях, что:
Условия
,
соответствующие тому
,
что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо
ε
(
наименьшее отличие
,
доступное обнаружению при помощи данных приборов)
ε≥1⋅10⁻³
м
𝑟
(
расстояние от центра Земли
)
Δ
𝑥
(
расстояние по горизонтали
)
Δ
𝑦
и
Δ
𝑧
(
протяжённость области в двух других направлениях
)
Δ
𝑡
(
время наблюдения
)
𝑟≥𝑟₀=6,4⋅10⁶
м
Δ
𝑥=𝐿≤25
м
При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]
Δ
𝑡≤21⋅10⁸
м
(7
сек
)
2) Более общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑥 от пробной частицы 𝐴. Обе они находятся на одинаковом расстоянии 𝑟 от центра притяжения и рассматриваются в течение времени Δ𝑡. Обозначим через 𝑎 общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек²), а через 𝑎*=𝑎/𝑐² — величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы 𝐵 относительно 𝐴, (Δ𝑎𝑥)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой
(
Δ
𝑎
𝑥
)*
=-
Δ𝑥
𝑟
𝑎*
.
(52)
(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).
б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.
1) Общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑧 от пробной частицы 𝐴, и на одной прямой с ними на расстоянии 𝑟 находится притягивающий центр. Таким образом, частица 𝐵 находится дальше от центра, чем 𝐴, и на неё действует меньшая сила. Поэтому 𝐵 отстаёт в своём падении от 𝐴, а наблюдатель, расположенный на 𝐴, найдёт, что на 𝐵 действует ускорение в положительном направлении оси 𝑧. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно
(
Δ
𝑎
𝑧
)*
=
+2
Δ𝑧
𝑟
𝑎*
.
(53)
(Совет: воспользуйтесь тем фактом, что величина 𝑎* убывает обратно пропорционально квадрату расстояния по закону всемирного тяготения Ньютона: 𝑎*=const/𝑟². Возьмите разность сил на расстояниях 𝑟 и 𝑟+Δ𝑧 Воспользуйтесь чрезвычайной малостью Δ𝑧 (каких-нибудь несколько метров) до сравнению с 𝑟 (тысячи километров) и упростите результат).
Рис. 47. Освобождённые на одной вертикали, но на разных высотах грузы удаляются друг от друга в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).
2) Частный случай (см. стр. 17). Пусть одна пробная частица находится на высоте 250 м над поверхностью Земли, а другая — на высоте 275 м. Насколько увеличится разность высот (25 м) этих частиц за те (приблизительно) 7 сек, пока они не упадут на Землю? [Наводящий вопрос: во сколько раз различаются численные значения для Δ𝑎𝑧 в (б1) и для Δ𝑎𝑥 в (а2)?] Дополните (или, если угодно, пересмотрите) на основании этого результата таблицу на стр. 99.
в) Случай, когда исследуемая область далека от центра Земли.
Агентство космических исследований расширяет опыты над пробными частицами и космическими лучами. Исследовательская группа приходит к заключению, что использовавшаяся в прежних исследованиях область недостаточно обширна для проведения новых программ, а время 7 сек недостаточно велико. Руководство утверждает их заявку на размеры области Δ𝑥=200 м, Δ𝑦=200 м, Δ𝑧=100 м и время 100 сек с тем же допуском, что и раньше (ε=1⋅10⁻³ м =1 мм). На расстояние скольких земных радиусов от центра Земли нужно забросить с помощью ракет оборудование, чтобы отклонение системы отсчёта от идеально инерциальной было менее приемлемого нижнего предела? (Некоторые возможные попутные вопросы: как изменяется в зависимости от расстояния 𝑟 от центра Земли величина 𝑎*? Как зависят от 𝑟 величины (Δ𝑎𝑥)* и (Δ𝑎𝑧)*? Как зависят Δ𝑥 и Δ𝑧 от (Δ𝑎𝑥)*, (Δ𝑎𝑧)* и от времени Δ𝑡?) ▼
33*. Опыт Майкельсона — Морли 1)
1 A.A. Michelson, E.W. Morley, American Journal Of Science, 34, 333 (1887). Логическое место этого опыта в теории относительности разобрано в статье: Н. P. Robertson, Reviews of Modern Physics, 21, 378 (1949). (См. историю опыта Майкельсона— Морли в книге: Б. Джефф, Майкельсон и скорость света, ИЛ, М., 1963.— Прим. перев.)
а) Пусть самолёт движется относительно воздуха со скоростью 𝑐 (не скорость света!) из пункта 𝐴 в пункт 𝐵. В направлении от 𝐵 к 𝐴 дует со скоростью 𝑣 сильный ветер. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту от 𝐴 до 𝐵 и обратно до 𝐴 превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(𝑣²/𝑐²)] раз. Парадокс: Казалось бы, ветер должен был бы ускорять полёт в одну сторону и замедлять — в другую в равной мере. Почему же тогда время полёта по замкнутому маршруту различно в зависимости от того, дует ветер или нет? Дайте этому простое физическое объяснение. Что произойдёт в том случае, когда скорость ветра близка к скорости самолёта?
б) Пусть теперь тот же самолёт летит по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐶. Расстояние между этими пунктами то же, что между 𝐴 и 𝐵, но направление 𝐴𝐶 перпендикулярно направлению 𝐴𝐵, так что при полёте между 𝐴 и 𝐶 самолёт движется поперёк ветра. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐶 превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(𝑣²/𝑐²)] раз.