Мы стремимся узнать всё, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из данных ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью. Для этих целей анализ скользящего соударения подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью не только до соударения, но и после него (частица 𝐵 на рис. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле 𝑝=𝑚β как до, так и после соударения. Исходя из этого, легко определить изменение импульса медленной частицы (𝐵) в процессе соударения, что позволит нам найти изменение импульса и даже самый импульс быстрой частицы (𝐴). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретённый частицей 𝐵 импульс вдвое превышает величину её импульса до соударения, так что
1
2
⋅
⎛
⎜
⎝
Изменение
импульса 𝐵
⎞
⎟
⎠
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑𝑡
.
Импульс пропорционален величине перемещения частицы за единицу собственного времени
Частица 𝐴 передаёт часть импульса частице 𝐵, но не за счёт изменения абсолютной величины своего импульса, а за счёт изменения направления своего вектора импульса. Иными словами, переданный импульс составляет меньшую и известную нам сторону треугольника импульсов. Другие две (равные друг другу) стороны этого треугольника являются бóльшими и неизвестны нам. Однако мы знаем, чему равны как длинные, так и короткая стороны подобного треугольника — треугольника перемещений. Из пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников мы сразу же получаем (см. рис. 85) выражение для импульса быстро движущейся частицы 𝐴:
𝒑=𝑚
𝑑𝒓
𝑑τ
=𝑚
⎛
⎜
⎝
Перемещение за единицу
собственного времени
⎞
⎟
⎠
.
(70)
Компоненты этого вектора по отдельности 1) равны:
𝑝
𝑥
=
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
,
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
(71)
в лабораторной системе отсчёта.
1) Почему не 𝑝𝑥 а 𝑝𝑥? В четырёхмерной геометрии пространства-времени в отличие от эвклидовой геометрии пространства существенно расположение индекса (см. подробности относительно стандартных обозначений в примечании на стр. 157).
В системе отсчёта ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (71) с той лишь разницей, что в них фигурируют 𝑑𝑥', 𝑑𝑦' и 𝑑𝑧' — компоненты перемещения, измеренные в системе отсчёта ракеты. Интервал собственного времени 𝑑τ' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных измерений («инвариантность интервала»). Поэтому излишне различать 𝑑τ и 𝑑τ'. Кроме того, величина 𝑑𝑦' (в системе отсчёта ракеты) равна величине 𝑑𝑦 (в лабораторной системе отсчёта), а также 𝑑𝑧=𝑑𝑧' Следовательно, компоненты импульса
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
и
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
,
перпендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной системы отсчёта, не зависят от скорости этого движения.
Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧) путём умножения на величину 𝑚/Δτ, одинаковую во всех инерциальных системах отсчёта!
Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса
Из исследования импульса, проделанного на рис. 85, ясно, что величина 𝑚 — это масса в том смысле, в каком её понимают в ньютоновской механике. Поэтому 𝑚 есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Всё различие между релятивистской формулой для импульса (например, 𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑τ) и соответствующей ньютоновской формулой (𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑𝑡) сводится поэтому к различию между собственным и лабораторным временем, а не к различию в 𝑚 при этих двух описаниях природы. В некоторых прежних изложениях теории относительности ньютоновское выражение для импульса (𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑𝑡) исправлялось не путём простой замены 𝑑𝑡 на 𝑑τ, принятой сейчас, а путём введения «массы движения», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например:
𝑝
𝑥
⎛
⎜
⎝
релятивистская
величина
⎞
⎟
⎠
=
𝑚
движения
⋅
𝑑𝑥
𝑑τ
.
Эта масса движения должна тогда быть равна
𝑚
движения
=
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
=
𝑚
√1-β²
.
(72)
Такое обозначение ещё можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего использовать величины, одинаковые во всех системах отсчёта, такие, как 𝑚 и 𝑑τ. Этот факт сейчас получает всё более широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не зависящую от скорости величину 𝑚.
Рис. 85. Вывод релятивистского выражения для импульса из закона сохранения импульса в случае скользящего соударения.
Частица 𝐵 движется настолько медленно, что ньютоновское выражение для импульса представляет собой сколь угодно хорошее приближение для её импульса: (Импульс)=𝑚⋅Δ𝑦𝐵/Δ𝑡𝐵 Здесь Δ𝑡𝐵 — время, за которое частица 𝐵 пролетает расстояние Δ𝑦𝐵 от нижней границы рисунка до точки соударения. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно близко к собственному времени полёта Δτ𝐵 по той же причине, а именно потому, что скорость 𝐵 может быть выбрана сколь угодно малой. (Пример: при β=0,01 относительное различие величин Δτ и Δ𝑡 составляет 5⋅10⁻⁵). Поэтому импульс 𝐵 можно записать как 𝑚⋅Δ𝑦𝐵/Δτ𝐵. Зная величину импульса 𝐵, можно найти величину импульса 𝑝𝐴 частицы 𝐴, сравнивая изображённые здесь диаграммы для импульса и для перемещения 𝐴 (правило подобных треугольников). Для частицы 𝐴 𝑦-компонента перемещения может быть сделана равной 𝑦-компоненте перемещения частицы 𝐵 (симметричное расположение «пола» и «потолка», о которые ударяются соответственно 𝐴 и 𝐵): Δ𝑦𝐴=Δ𝑦𝐵=Δ𝑦. Промежуток собственного времени между моментами соударения и удара об пол (потолок) также один и тот же для 𝐴 и 𝐵: Δτ𝐴=Δτ𝐵.
Доказательство 1) Движение частицы 𝐴 в системе отсчёта ракеты совпадает с движением частицы 𝐵 в лабораторной системе отсчёта (ср. рис. 83 и 84). Поэтому собственные времена полёта равны одно другому: (Δτ𝐴)система ракеты = (Δτ𝐵)лабораторная система.
2) Но собственное время между двумя событиями (столкновение и удар) одинаково во всех системах отсчёта, т.е. (Δτ𝐴)лабораторная ракеты = (Δτ𝐴)система ракеты.