3) Следовательно, (Δτ𝐴)лабораторная ракеты = (Δτ𝐵)лабораторная система.
что и требовалось доказать. Конечно, лабораторные часы показывают совершенно разные продолжительности полётов частиц 𝐴 и 𝐵, если 𝐴 обладает скоростью, близкой к скорости света: (Δ𝑡𝐴)²лабораторная ракеты = = (Δτ𝐴)²лабораторная ракеты + (Δ𝑥𝐴)²лабораторная ракеты ≫ ≫ (Δτ𝐴)²лабораторная ракеты = = (Δτ𝐵)²лабораторная ракеты = (Δ𝑡𝐵)²лабораторная ракеты .
Поэтому импульс частицы 𝐴 в конце концов выражается непосредственно через величины, которые относятся лишь к движению 𝐴: 𝒑𝐴 = 𝑚
Δ𝒓𝐴
Δτ𝐴 .
Переходя от конечных разностей к производным и вспоминая, что импульс и перемещение обладают одним и тем же направлением, получим 𝒑 = 𝑚
𝑑𝒓
𝑑τ .
Это и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией.
Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей
Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса? Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы. Такие медленные частицы проходят путь, много меньший одного метра за один метр времени (𝑑𝑟/𝑑𝑡). Тогда собственное время √(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑟)²=√1-β²⋅𝑑𝑡 при любом перемещении медленной частицы очень мало отличается от координатного времени 𝑑𝑡:
𝑑τ
≈
𝑑𝑡
(для медленной частицы),
причём для β=0,01 это равенство справедливо с точностью до 5 : 100 000 и стремится к тождественному совпадению при β→0. При этом релятивистское выражение для импульса 𝒑=𝑚⋅𝑑𝒓/𝑑τ совпадает с ньютоновским выражением 𝒑=𝑚⋅𝑑𝒓/𝑑𝑡 величина 𝑚 одна и та же (инвариант 𝑚!).
В некоторых случаях удобнее выражать импульс через параметр скорости частицы θ, а иногда через её скорость β=th θ. Тогда
𝑝
=
𝑚
𝑑𝑟
𝑑τ
=
𝑚
𝑑𝑟
√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑟)²
=
=
𝑚⋅𝑑𝑟/𝑑𝑡
=
⎡
⎢
⎣
1
-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
²
⎤
⎥
⎦
½
𝑑𝑡
=
𝑚β
√1-β²
=
𝑚 th θ
√1-th²θ
=
=
𝑚 th θ
=
⎧
⎪
⎩
ch²θ
-
sh²θ
⎫
⎪
⎭
½
ch²θ
ch²θ
𝑚 th θ ch θ
√ch²θ-sh²θ
=
𝑚 sh θ
,
так что
𝑝
=
𝑚 sh θ
=
𝑚β
√1-β²
⎛
⎜
⎜
⎝
релятивистский
импульс,
размерность массы
⎞
⎟
⎟
⎠
(73)
Другой вид имеет ньютоновское выражение для импульса:
𝑝
=
𝑚β
=
𝑚 th θ
⎛
⎜
⎜
⎝
ньютоновский
импульс,
размерность массы
⎞
⎟
⎟
⎠
(74)
Эти два выражения для импульса различаются множителем
𝑑𝑡
𝑑τ
=
ch θ
1
√1-β²
,
который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса 𝑝=𝑚β, где 𝑚 — постоянная, а β не может превышать единицы.
Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Однако процедура определения массы некоторой новой частицы, принявшей участие в процессе столкновения, в принципе одна и та же как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Её суть может быть выражена по-разному: 1) как принцип действия и противодействия; 2) как принцип, связывающий отдачу ружья с импульсом пули; 3) как закон сохранения импульса.
Определение массы неизвестной частицы по упругому столкновению её со стандартной частицей
Рис. 86. Скорости до и после лобового упругого столкновения, наблюдаемые в той системе отсчёта, где полный импульс равен нулю.
Рассмотрим специально лобовое упругое столкновение: 1) стандартной частицы массы 𝑚₁ (пусть величина этой массы произвольно устанавливается Международным комитетом мер и весов) и 2) исследуемой частицы, обладающей пока неизвестной массой 𝑚₂ величину которой нам нужно определить. Говоря, что столкновение является лобовым и упругим, мы имеем в виду существование такой системы отсчёта, в которой зарегистрированные до и после соударения данные о скоростях частиц обнаруживают симметрию, изображённую на рис. 86. Эта симметрия состоит в том, что полный импульс меняет свой знак на обратный в результате соударения. Но ведь полный импульс при соударении сохраняется! Значит, этот полный импульс должен быть равен нулю. Итак, импульсы наших двух частиц после столкновения должны удовлетворять условию
𝑚₁
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠₁
+
𝑚₂
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠₂
=
0.
Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:
𝑚₂
𝑚₁
=
(-𝑑𝑥/𝑑τ)₁
(𝑑𝑥/𝑑τ)₂
=
=
-Δ𝑥₁
√(Δ𝑡₁)²-(Δ𝑥₁)²
×
√(Δ𝑡₂)²-(Δ𝑥₂)²
Δ𝑥₂
.
(75)
Здесь Δ𝑥₁ и Δ𝑥₂ — расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а Δ𝑡₁ и Δ𝑡₂ — соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид
𝑚₂
𝑚₁
=-
β₂
β₁
=
-Δ𝑥₁/Δ𝑡₁
Δ𝑥₂/Δ𝑡₂
⎛
⎜
⎝
ньютоновский
предел
⎞
⎟
⎠
.
(76)
Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.
12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) 𝐴 в пространстве-времени в соседнюю мировую точку 𝐵. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий 𝐴 и 𝐵 1). Компоненты этого 4-вектора (смещения 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и 𝑑𝑡) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора 𝐴𝐵, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий 𝐴 и 𝐵, а значит, и положение 4-вектора 𝐴𝐵 в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.