,
𝑑𝑥'
=
𝑑𝑥 ch θ
𝑟
-
𝑑𝑡 sh θ
𝑟
,
𝑑𝑧'
=
𝑑𝑧
.
Эти равенства не нарушатся, если их разделить с обеих сторон на инвариантный интервал 𝑑τ=𝑑τ' и умножить на инвариантную массу 𝑚:
𝑚
𝑑𝑡'
𝑑τ'
=-
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
sh θ
𝑟
+
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
ch θ
𝑟
,
𝑚
𝑑𝑦'
𝑑τ'
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑚
𝑑𝑥'
𝑑τ'
=
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
ch θ
𝑟
-
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
sh θ
𝑟
,
𝑚
𝑑𝑧'
𝑑τ'
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
,
Но 𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑τ, 𝑚⋅𝑑𝑦/𝑑τ и 𝑚⋅𝑑𝑧/𝑑τ — компоненты релятивистского импульса, а 𝑚⋅𝑑𝑡/𝑑τ — временна'я компонента нового 4-вектора, т.е. та самая величина, которую мы решили назвать «релятивистской энергией 𝐸». Мы пришли, таким образом, к следующим важным соотношениям, связывающим импульс и новую величину 𝐸 в одной системе отсчёта с импульсом и 𝐸' — в другой инерциальной системе отсчёта:
𝐸'
=-
𝑝
𝑥
sh θ
𝑟
+
𝐸 ch θ
𝑟
,
𝑝'
𝑦
=
𝑝
𝑦
,
𝑝'
𝑥
=
𝑝
𝑥
ch θ
𝑟
-
𝐸 sh θ
𝑟
,
𝑝'
𝑧
=
𝑝
𝑧
.
(78)
Преобразования Лоренца для энергии и импульса
Рассмотрим теперь столкновение двух частиц; пусть 𝑝₁𝑥 и 𝑝₂𝑥 будут соответственно 𝑥-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в лабораторной системе отсчёта, а 𝐸₁ и 𝐸₂ — их «релятивистскими энергиями» в этой же системе. Пусть аналогично 𝑝₁'𝑥 и 𝑝₂'𝑥 будут 𝑥-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в системе отсчёта ракеты. Для того чтобы записать 𝑥-компоненту полного импульса в системе отсчёта ракеты до столкновения, следует сложить друг с другом два выражения 𝑥-компоненты импульса (для каждой частицы), фигурирующие как второе уравнение в системе (78):
(𝑝₁'
𝑥
+
𝑝₂'
𝑥
)
=
(𝑝₁
𝑥
+
𝑝₂
𝑥
)
ch
θ
𝑟
-
(𝐸₁
+
𝐸₂)
sh
θ
𝑟
.
Таблица 9.
Неизменность импульса в двух системах отсчёта гарантирует неизменность энергии в обеих системах
**
СВЯЗЬ С ОБСУЖДЕНИЕМ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
Равенство нулю 𝑥-компоненты вектора в одной системе отсчёта никак не облегчает исследование поведения 𝑡-компоненты этого вектора. Здесь изображены три вектора, обладающие разными абсолютными величинами (и один из них вообще равен нулю), которые все кажутся одинаковыми для исследователя, знающего лишь величину их 𝑥-компонент.
**
Закон сохранения импульса утверждает, что полная сумма импульсов после столкновения равна полной сумме импульсов до столкновения. Или, что то же самое, имеется определённая величина — изменение полного импульса при столкновении, о которой мы знаем, что она равна нулю. Но это ещё не всё. Нам нужна вся информация о полном 4-векторе (равном изменению полного 4-вектора энергии-импульса при столкновении). Рассматривая одну только пространственную компоненту (или, на нашей диаграмме, удостоверившись только в равенстве нулю 𝑥-компоненты этого 4-вектора), мы никак не можем здесь показать, что равна нулю и временная компонента (иначе говоря, что равно нулю изменение энергии).
Взглянуть на этот же вектор из другой системы отсчёта — значит сразу же обнаружить разницу между векторами, казавшимися одинаковыми в прежней системе отсчёта. Допустим, что, как мы знаем, пространственная компонента некоторого 4-вектора равна нулю в двух разных системах отсчёта. Тогда можно быть уверенным, что этот 4-вектор вообще равен нулю (случай, изображённый справа).
**
Равенство нулю пространственной компоненты («импульсной компоненты») определённого 4-вектора (который и есть разность полных 4-векторов энергии-импульса до и после столкновения) в двух различных системах отсчёта гарантирует, что все компоненты этого 4-вектора вообще равны нулю. Значит, из того факта, что импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты, можно заключить, что и энергия сохраняется в обеих системах.
Такое же уравнение можно записать для этих частиц и после столкновения (две отдельные частицы после упругого столкновения; одна объединённая частица при неупругом ударе и много частиц, если неупругий удар сопровождался дроблением). Можно следующим образом сопоставить эти уравнения до и после столкновения:
До столкновения
: полная
𝑥
-компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты
=
До столкновения
: полная
𝑥
-компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
ch θ
𝑟
-
До столкновения
: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
sh θ
𝑟
(79)
↑
↑
↑
1-й этап
: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!
2-й этап
: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!
Вывод
: эти члены равны друг другу, что доказывает сохранение релятивистской энергии!
↓
↓
↓
После столкновения
: полная
𝑥
-компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты
=
После столкновения
: полная
𝑥
-компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
ch θ
𝑟
-
После столкновения
: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
sh θ
𝑟
(80)
Второй раз в этой главе мы потребуем, чтобы импульс сохранялся при столкновениях как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты. Ввиду этого требования каждая из скобок, обозначающая импульс в уравнении (79), будет равна соответствующей скобке, обозначающей импульс в уравнении (80). Если справедливы оба уравнения, причём соответствующие скобки для импульсов равны друг другу, то скобки, обозначающие энергию, также должны быть равны. Поэтому в лабораторной системе отсчёта полная релятивистская энергия одинакова до и после столкновения: полная релятивистская энергия при столкновениях сохраняется.
Свойства полной релятивистской энергии
Из этих рассуждений мы получаем три вывода. Во-первых, мы можем сопоставить каждой частице массы 𝑚 «релятивистскую энергию»