1) Около ²/₃ расстояния от Солнца до Земли.
2) Около одного светового года.
3) Приблизительное расстояние до самой далёкой сфотографированной в настоящее время галактики.
Рис. 90. 4-вектор энергии-импульса.
Энергию как временну'ю компоненту 4-вектора энергии-импульса или как сторону треугольника на рис. 90, направленную вдоль оси времени, можно вычислить по методам, обычно применяемым для нахождения сторон любого треугольника. В двух основных методах используются пропорциональность и теорема Пифагора. Чтобы найти энергию как функцию скорости, мы пользовались подобием треугольника 𝑚𝐸𝑝 и треугольника 𝑑τ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (см. рис. 87). Из пропорциональности их сторон мы нашли соотношение
𝐸
𝑚
=
𝑑𝑡
𝑑τ
=
1
√1-β²
.
Теперь же нас интересует зависимость энергии от импульса. Чтобы найти её, достаточно проанализировать один лишь треугольник 𝑚𝐸𝑝, но при этом необходимо иметь в виду, что для него справедлива не эвклидова, а лоренцева геометрия. Квадрат гипотенузы определяется тогда не как сумма, а как разность квадратов катетов, так что
𝑚²
=
𝐸²
-
𝑝²
(в единицах массы).
(82)
Масса как абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса
Но так определяется квадрат «длины» 4-вектора энергии-импульса 1). Эта формула совершенно аналогична выражению для квадрата четырёхмерного пространственно-временно'го интервала между соседними мировыми точками на мировой линии частицы
(𝑑τ)²
=
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑟)²
.
1) По ряду причин удобно выражать квадрат абсолютной величины 4-вектора через все четыре компоненты этого вектора, однако при этом следует быть несколько более внимательным, чем при записи квадрата 3-мерного вектора в эвклидовом пространстве. В этой книге, как и в большей части современной литературы, 4-векторы записываются через их компоненты с верхними индексами (контравариантные компоненты): 𝑝 𝑡 = 𝐸 = 𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ , 𝑝 𝑥 = 𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ , 𝑝 𝑦 = 𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ , 𝑝 𝑧 = 𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ .
В другом представлении используются нижние индексы (ковариантные компоненты), однако все пространственные компоненты при этом меняют знак: 𝑝 𝑡 = 𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ , 𝑝 𝑥 =- 𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ , 𝑝 𝑦 =- 𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ , 𝑝 𝑧 =- 𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ .
Эти два альтернативных представления, использующие контравариантные и ковариантные компоненты (верхние и нижние индексы), применимы не только к 𝑝, но и к другим 4-векторам, например к радиусу-вектору 𝑅, соединяющему начало координат некоторой инерциальной системы отсчета с каким-либо данным событием (мировой точкой), так что 𝑅𝑡 = 𝑡 , 𝑅𝑥 = 𝑥 , 𝑅𝑦 = 𝑦 , 𝑅𝑧 = 𝑧
и 𝑅𝑡 = 𝑡 , 𝑅𝑥 =- 𝑥 , 𝑅𝑦 =- 𝑦 , 𝑅𝑧 =- 𝑧 .
В этих обозначениях инвариантный квадрат интервала для события, отделенного от начала временноподобным интервалом, имеет стандартный вид τ² = 𝑅𝑡𝑅𝑡 + 𝑅𝑥𝑅𝑥 + 𝑅𝑦𝑅𝑦 + 𝑅𝑧𝑅𝑧 = = 𝑡² - 𝑥² - 𝑦² - 𝑧² .
Если же интервал является пространственноподобным, его квадрат следует записывать как σ² =-( 𝑅𝑡𝑅𝑡 + 𝑅𝑥𝑅𝑥 + 𝑅𝑦𝑅𝑦 + 𝑅𝑧𝑅𝑧 )= =- 𝑡² + 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² .
4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для τ², т. е.
⎛
⎜
⎜
⎝
Квадрат
абсолютной
величины
⎞
⎟
⎟
⎠ = 𝑝 𝑡 𝑝 𝑡 + 𝑝 𝑥 𝑝 𝑥 + 𝑝 𝑦 𝑝 𝑦 + 𝑝 𝑧 𝑝 𝑧 = =
𝑚²[(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²]
𝑑τ² = 𝑚² .
В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).
[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.— Прим. перев.]
В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы 𝐸 и её импульс 𝑝) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя 𝑚 и интервал τ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.
Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно 𝐸:
𝐸
=
√
𝑚²+𝑝²
.
(87)
Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.
Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи