Применение законов сохранения к исследованию столкновений и превращений.
Известные и неизвестные величины
Применение этих идей регулируется стандартными правилами алгебры. 1) Чтобы найти 𝑛 различных неизвестных, нужно иметь 𝑛 независимых уравнений, в которых все прочие величины известны. 2) Если мы располагаем лишь 𝑛-𝑟 независимыми уравнениями, то 𝑟 неизвестных величин останутся неопределенными. (Примером служит столкновение дейтрона заданной энергии с покоящимся дейтроном, приводящее к образованию ядра трития и протона. Если бы даже были заданы массы покоя всех четырех частиц, было бы всё равно невозможно предсказать исход этой реакции. Причина проста: протон может вылететь в любом из бесчисленного множества направлений, в каком ему заблагорассудится. В этой задаче угол вылета протона является неопределенным. Если задать этот угол как одно из условий задачи (в нашем примере θ = 90°), то можно вычислить энергию. Наоборот, задавая энергию, можно предсказать величину угла вылета протона). 3) Если мы имеем 𝑛+𝑠 независимых уравнений для нахождения 𝑠 неизвестных, то нам достаточно для этого ограничиться первыми 𝑛 уравнениями. Остальные 𝑠 уравнений будут служить для проверки точности измерений или выполнения физических законов. Используя эти принципы, часто берут в качестве основных величин значения компонент 𝐸, 𝑝 𝑥, 𝑝 𝑦 и 𝑝 𝑧 различных частиц как для удобства их учета, так и ради систематического контроля числа известных и неизвестных величин.
Примером подсчета числа известных и неизвестных служит реакция: (Дейтрон) + (Дейтрон) (Протон) + (Ядро трития), используемая для нахождения массы ядра трития. Этот пример проанализирован в табл. 13.
Таблица 13.
Учёт известных и неизвестных величин, 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³ характеризующих реакцию
Комментарий.
Как и в тексте, здесь принято, что отсутствуют масс-спектрографические данные о массе 𝙷³ в тот момент, когда эта масса определяется из баланса импульса и энергии в данной реакции. В таблице измеряемые величины обозначены через «ДА», те же, которые не измерены,— через «НЕТ».
Каждая из четырёх частиц характеризуется пятью символами (четыре компоненты энергии-импульса и масса покоя), так что в целом мы имеем 20 величин. Из них известны 10 (помеченные в таблице через «ДА») и 10 неизвестны. Для определения этих десяти неизвестных мы имеем ровно десять уравнений. Поэтому не удивительно, что информацию, содержащуюся в этих 10 уравнениях, можно скомбинировать таким образом, что получается одно уравнение (99), выражающее искомую массу ядра трития через измеряемые величины.
𝐸=𝑝 𝑡 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 𝑝 𝑧 Инвариантная абсолютная величина 4-вектора
Реагенты (все компоненты 4-вектора энергии-импульса проставить в таблице с положительным знаком) 𝙷² (мишень) НЕТ (измеряется 𝑚₂, а не не посредственно 𝐸₂) ДА (нуль!) ДА (нуль) ДА (нуль)
𝑚₂ - ДА, ур. (100) (спектрометр) 𝙷² (быстрый) НЕТ (измеряется 𝐾𝐸, см. ниже) НЕТ ДА (нуль) ДА (нуль)
𝑚₂*=𝑚₂ - ДА (спектрометр)
Продукты реакции (все компоненты проставить в таблице с обратным знаком) 𝙷¹ (измерено) НЕТ (измеряется 𝐾𝐸, см. ниже) ДА (нуль) НЕТ ДА (нуль)
𝑚₁ - ДА, ур. (101) (спектрометр) 𝙷³ (не измерено) НЕТ НЕТ НЕТ НЕТ
𝑚₃ - «НЕТ»,ур. (105) (требуется найти)
Сумма, дающая изменение полного 4-вектора энергии-импульса системы, должна быть нулю, чтобы 4-векторы образовали замкнутый четырехугольник («закон сохранения») 0 ур. (94) 0 ур. (95) 0 ур. (96) 0 ур. (97) ПОЛУЧАЮТСЯ ЧЕТЫРЕ УРАВНЕНИЯ
Дополнительная информация. ПОЛУЧАЕТСЯ ЕЩЁ ШЕСТЬ УРАВНЕНИЙ:
𝐸₂*-𝑚₂*=1,808 Мэв (кинетическая энергия налетающего дейтрона), уравнение (102).
𝐸₂-𝑚₂=0 (кинетическая энергия дейтрона-мишени, принимаемого покоящимся).
𝐸₁-𝑚₁=3,467 Мэв (кинетическая энергия полученного протона), уравнение (103).
𝐸₃²-𝑝₃²=𝑚₃² (4-вектор энергии-импульса полученного ядра трития), уравнение (98).
𝐸₁²-𝑝₁²=𝑚₁² (4-вектор энергии-импульса энергии-импульса полученного протона).
(𝐸₂*)² - (𝑝₂*)² = (𝑚₂*)² = 𝑚₂² (4-вектор энергии-импульса налетающего дейтрона).
«Масса покоя может быть превращена в энергию, а энергия может быть превращена в массу покоя»,— так можно не совсем точно подытожить некоторые следствия двух фундаментальных и уже строгих принципов: 1) полный 4-вектор энергии-импульса системы не изменяется в ходе реакции и 2) инвариантная абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса любой данной частицы равна массе покоя этой частицы. Какую разумную информацию о физических законах можно извлечь из этих основных принципов? К каким затруднениям приводит иногда использование слишком нестрогой формулировки «принципа эквивалентности массы и энергии»? Некоторые ответы на эти вопросы даны в табл. 14.
Таблица 14.
Плюсы и минусы понятия массы
❔
Одинакова ли величина массы покоя во всех инерциальных системах отсчёта?
✔
Да. В одной системе отсчёта она выражается через энергию 𝐸 и импульс 𝑝 как 𝑚²=𝐸²-𝑝², а в другой системе — как 𝑚²=(𝐸')²-(𝑝')². Поэтому масса покоя является инвариантом
❔
Одинакова ли величина энергии во всех инерциальных системах отсчёта?
✔
Нет. Энергия выражается как 𝐸=√𝑚²+𝑝² либо как 𝐸=𝑚 ch θ=𝑚/√1-β², либо как 𝐸= (Масса покоя) + (Кинетическая энергия) = 𝑚+𝑇, и её величина зависит от выбора системы отсчёта, в которой рассматривается частица (или система частиц). Эта величина минимальна в той системе отсчёта, где импульс частицы (системы частиц) равен нулю (в случае системы частиц равен нулю полный импульс). Лишь в этой системе отсчёта энергия равна массе покоя
❔
Равна ли нулю энергия объекта с нулевой массой покоя? (Фотон: квант света, рентгеновские лучи, гамма-излучение).
✔
Нет. Энергия равна тогда 𝐸=√0²+𝑝²=𝑝 (в обычных единицах 𝐸обычн=𝑐𝑝обычн). Формально можно сказать иначе, что вся энергия представлена в виде кинетической энергии (в этом специальном случае нулевой массы покоя 𝑇=𝑝 и вообще отсутствует форма энергии покоя. Итак, 𝐸=(Масса покоя)+(Кинетическая энергия)=0+𝑇=𝑇=𝑝 (лишь в случае нулевой массы покоя!)
❔
Означает ли инвариантность массы покоя, что эта масса не может изменяться при столкновениях?
✔
Нет. Масса покоя часто изменяется при неупругих соударениях. Пример 1: столкновение двух пластилиновых шаров — нагревание и увеличение вследствие этого массы после столкновения. Пример 2: столкновение двух электронов (𝑒⁻) достаточной энергии порождает новую пару, состоящую из одного обычного электрона и одного положительного электрона (позитрона) (𝑒⁺): 𝑒⁻ (быстрый) + 𝑒⁻ (покоящийся) → 𝑒⁺ + 3𝑒⁻