второй член, величина которого резко возросла в момент взрыва, но понизилась за время охлаждения, в конечном итоге, после взрыва и последующего охлаждения, окажется прежним. Напротив, сумма масс покоя ∑𝑚𝑖 всё время уменьшалась, а вместе с ней уменьшилась и величина массы 𝑀 того, что мы взвешиваем (после периода охлаждения); см. рис. 95
❔
Означает ли эйнштейновское утверждение об эквивалентности массы и энергии, что энергия — это то же самое, что масса?
✔
Нет. Величина энергии зависит от того, в какой инерциальной системе отсчёта мы рассматриваем частицу (или систему частиц). Величина же массы покоя не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта. Энергия — всего лишь временная компонента 4-вектора, тогда как масса определяется как полная абсолютная величина этого 4-вектора (см. также упражнение 67). Временна'я компонента 4-вектора совпадает с его абсолютной величиной лишь в том частном случае, когда пространственные компоненты этого 4-вектора равны нулю, т.е. когда равен нулю импульс частицы (или полный импульс системы частиц). Лишь тогда величина энергии совпадает с величиной массы покоя
❔
Если говорить без всякого крючкотворства, является ли равенство 𝐸обычн=𝑚𝑐² именно тем, что на самом деле существенно в законе эквивалентности массы и энергии?
✔
Исторически — да, в наше время — нет! В прежние времена не признавали, что и джоули и килограммы — это две единицы, различные лишь вследствие исторической случайности, но измеряющие одну и ту же величину — массу-энергию. Подобным же образом одну и ту же массу-энергию можно измерять и в других разных единицах — в эргах и в граммах. Множитель перехода 𝑐², подобно множителю перехода от секунд к метрам или от миль к футам, в наше время можно рассматривать, если угодно, как условность, но не как новую принципиальную величину
❔
Если основным во взаимосвязи массы и энергии является не множитель 𝑐², что же тогда будет там основным?
✔
Различие между массой и энергией в том, что масса характеризует абсолютную величину 4-вектора, а энергия — временную компоненту этого же 4-вектора. Все соображения, подчёркивающие это различие, идут на пользу пониманию взаимосвязи массы и энергии. Любая расплывчатость в терминологии, затушёвывающая это различие, является потенциальным источником ошибок и недоразумении
❔
Масса покоя 𝑀 системы свободно движущихся частиц определяется не как сумма масс покоя 𝑚𝑖 отдельных частиц системы, но как сумма их энергий 𝐸𝑖 (при этом—только в той системе отсчёта, где полный импульс системы равен нулю). Почему бы тогда не дать величинам 𝐸𝑖 новое название, а именно не назвать их «релятивистскими массами» отдельных частиц? При таком обозначении (𝑚𝑖)релят = 𝐸𝑖 =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ = 𝑚𝑖+𝑇𝑖 , = √𝑚𝑖²+𝑝𝑖², =
𝑚𝑖
√1-β𝑖² ,
и можно записать 𝑀 =
𝑛
∑
𝑖=1 (𝑚𝑖)релят
✔
Понятие «релятивистской массы» (массы движения) приводит к недоразумениям, и мы его здесь не используем. 1) Оно применяет термин «масса», принадлежащий абсолютной величине 4-вектора, к совершенно другому понятию — временной компоненте 4-вектора. 2) При его использовании казалось бы, что увеличение энергии частицы при росте её скорости или импульса связано с какими-то изменениями во внутренней структуре этой частицы. На самом же деле увеличение энергии с ростом скорости заложено в геометрических свойствах самого пространства (преобразование Лоренца!)
❔
Может ли это различие между массой и энергией быть проиллюстрировано на какой-то простой диаграмме?
Рис. 96. 4-вектор энергии-импульса одной и той же частицы в трёх различных системах отсчёта.
✔
Да! На рис. 96. 4-вектор энергии-импульса одной и той же частицы изображён в разных системах отсчёта. Энергия в разных системах различна, но масса покоя (абсолютная величина 4-вектора) имеет во всех системах одно и то же значение 𝑚. (Кажущееся различие между значениями 𝑚 в трёх изображённых здесь системах вызвано тем, что мы пытались изобразить лоренцеву геометрию на эвклидовой плоскости. В лоренцевой геометрии квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов 𝐸' и 𝑝' или 𝐸ʺ и 𝑝ʺ)
❔
Существует ли столь же простая диаграмма, иллюстрирующая превращение части массы покоя ядра плутония в энергию в процессе деления?
Рис. 97. Сумма масс покоя продуктов деления ядра плутония меньше, чем масса покоя исходного ядра.
✔
Да, см. рис. 97. Векторная сумма двух временноподобных 4-векторов есть 4-вектор с абсолютной величиной 𝑀 (масса покоя 𝙿𝚞²³⁹ до деления), превышающей сумму абсолютных величин 𝑚₁ и 𝑚₂ обоих 4-векторов-слагаемых (масс покоя продуктов деления). В противоположность эвклидовой геометрии, где длина третьей стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других сторон, здесь 𝑀>𝑚₁+𝑚₂
Упражнения к главе 2
Скорость частицы β и параметр скорости θ почти никогда не используются при решении задач, касающихся импульса и энергии частиц, движущихся с релятивистскими скоростями. С одной стороны, величиной β неудобно пользоваться, так как она входит в выражения для импульса и энергии под знаком квадратного корня: √1-β². С другой стороны, и это существеннее, очень малое изменение скорости β может соответствовать огромному изменению импульса и энергии, если частица двигалась со скоростью, близкой к скорости света. Если, например, частица первоначально двигалась со скоростью β=0,99, а затем её скорость увеличилась на 0,01, то это соответствует увеличению импульса и энергии этой частицы в бесконечное число раз. Обычно в задачах, касающихся быстро движущихся частиц, пользуются их кинетической энергией или полной энергией. Тогда импульс каждой частицы можно найти по формулам (85) и (86):
𝐸²
-
𝑝²
=
𝑚²
,
𝑇
=
𝐸
-
𝑚
.
При этом удобнее всего вообще не говорить о скорости и не пользоваться формулами, содержащими скорость или параметр скорости.
Если же требуется явно выразить величину скорости, её можно найти из соотношения
β
=
th θ
=
sh θ
ch θ
=
𝑚 sh θ
𝑚 ch θ
=
𝑝
𝐸
.
(106)
В таких случаях часто бывает достаточно (например, в упражнении 55) найти величину разности 1-β скорости света и скорости частицы р. Подставляя 𝑝=β𝐸 в уравнение
𝐸²
-
𝑝²
=
𝑚²
,
получим
𝑚²
𝐸²
=
1-β²
=
(1-β)
(1+β)
.
При скорости β, очень близкой к единице, 1+β≈2, и тогда
1-β
≈
𝑚²
2𝐸²
,
β≈1
.
(107)
В задачах на столкновения (упражнение 90 и последующие) удобно поставить чёрточки над величинами, взятыми «после столкновения» (например, 𝑝, 𝐸).
Число звёздочек при номерах упражнений соответствует возрастанию трудности этих упражнений.