58*. Релятивистская ракета
Какие ограничения накладывает теория относительности на лётные качества и скорость ракеты? Будем схематически представлять действие двигателя как последовательные выбросы одинаковых шариков, имеющих одну и ту же массу покоя 𝑚. Каждый выброс тогда можно рассматривать как «неупругое столкновение наоборот». Пусть каждый выброс осуществляется на ракете одним и тем же способом. Тогда разумно предположить, что скорость удаления одинакова для любого шарика, если её рассматривать в инерциальной системе отсчёта, в которой ракета покоится (она изображена на рис. 98 в «лабораторной системе отсчёта», связанной с ракетой до выброса). Назовём эту скорость удаления шарика скоростью выброса βвыбр.
Рис. 98. Исследование движения релятивистской ракеты.
а) Используя обозначения рис. 98, запишите уравнения сохранения импульса и сохранения энергии. Не забудьте учесть начальную энергию покоя 𝑀₁ но не считайте, что масса покоя сохраняется — ведь речь идёт о «неупругом столкновении наоборот»! Исключите из этих уравнений 𝑚 и найдите таким образом приращение 𝑑θ,
𝑑θ
=
β
выбр
⎛
⎜
⎝
𝑀₁-𝑀₂
𝑀₂
⎞
⎟
⎠
,
где βвыбр — скорость выброса относительно первоначальной системы ракеты. Так как 𝑀₂-𝑀₁=𝑑𝑀 — изменение массы ракеты, то
𝑑θ
=-
β
выбр
𝑑𝑀
𝑀
,
где 𝑀 — масса ракеты в любой данный момент времени. Если мы рассмотрим теперь новую систему отсчёта («систему ракеты»), в которой ракета покоится, выброс следующей порции массы со скоростью βвыбр в этой системе приведёт к дальнейшему изменению параметра скорости на 𝑑θ. Однако, согласно уравнению (25), новое значение параметра скорости ракеты в первоначальной системе отсчёта равно просто сумме всех изменений параметра скорости (сами скорости не аддитивны, но параметры скорости аддитивны). К тому же массы покоя (и изменения массы покоя) инвариантны, одинаковы во всех системах отсчёта. Поэтому окончательное значение параметра скорости в первоначальной системе отсчёта может быть получено путём суммирования (интегрирования) приращений параметра скорости:
θ
∫
0
𝑑θ
=-
β
выбр
𝑀
∫
𝑀₁
𝑑𝑀
𝑀
.
Интеграл справа равен натуральному логарифму, так что
θ
=
β
выбр
⋅ln
𝑀₁
𝑀
(релятивистская ракета),
(108)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Величина параметра
скорости, достигнутая
после сжигания
любой данной
массы горючего
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Скорость
выброса
продуктов
сгорания
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⋅ln
⎛
⎜
⎜
⎝
Начальная
масса покоя
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Конечная
масса покоя
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎠
Это и есть уравнение движения релятивистской ракеты.
б) Нерелятивистской называется такая ракета, которая движется со скоростью, много меньшей скорости света. Покажите, что приведённое выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения нерелятивистской ракеты:
𝑣
=
𝑣
выбр
⋅ln
𝑀₁
𝑀
(нерелятивистская ракета),
(109)
в) Покажите, исходя из основных законов сохранения, что масса покоя в случае релятивистской ракеты не сохраняется. Куда же она девается? Покажите, что масса покоя (приближённо) сохраняется в предельном случае нерелятивистской ракеты.
г) Покажите, что скорость релятивистской ракеты может приближаться сколь угодно близко к скорости света, но не превосходить её.
д) Рассмотрите частный случай, когда скорость выброса очень велика. Покажите, что при βвыбр, стремящейся к скорости света (т.е. при очень больших θвыбр), необходимая для достижения данного значения параметра скорости ракеты выбрасываемая масса покоя стремится к нулю. Из этого следует что использование света для создания тяги ракеты соответствует полному переводу массы покоя топлива в энергию излучения; уравнение движения тогда принимает вид
θ
=
ln
𝑀₁
𝑀
⎛
⎜
⎝
для ракеты с
фотонными двигателями
⎞
⎟
⎠
(110)
е) Иногда высказывают следующее обобщающее заключение: «Наиболее экономична ракета с фотонной тягой». Покажите, что это утверждение и верно, и ошибочно одновременно. Обсуждение. Найдите «коэффициент полезного действия» для двигателей, тягу которых создают световые вспышки. Насколько экономично продолжать ускорять «шлак» (использованные элементы) вместе с полезным грузом? Существует ли хоть один тип взаимодействия элементарных частиц, при котором вообще не остаётся «шлака» и образуется лишь свет (т.е. гамма-лучи)? См. стр. 162 и упражнение 97.
ж) Чему равно наименьшее отношение масс (отношение начальной массы к конечной, когда горючее исчерпано) для идеальной ракеты, в которой масса полностью превращается в свет, при котором ракета ускоряется из состояния покоя до такой скорости, при которой течение времени замедляется в десять раз? Чему равно это отношение масс в случае наибольшей скорости выброса, достижимой в ракетах с химическими двигателями (около 4000 м/сек)? Замечание. В технической литературе часто говорится об «удельном импульсе» (обозначаемом через 𝐼) ракетного горючего; например, 𝐼=260 сек для керосина с жидким кислородом и 350 сек для жидкого водорода с жидким кислородом. Умножьте эти величины на 9,8 м/сек², чтобы перейти к физическим единицам (скорости выброса в м/сек или к импульсу в кг⋅м/сек, сообщаемому ракете каждым килограммом отработавшего топлива). Последний способ выражения через импульс в противоположность использованию единиц времени применим и на Луне, где 𝑔≈(1/6)*9,8 м/сек², и на Земле, где 𝑔=9,8 м/сек². ▼
59*. Парадокс центра масс
Пусть в системе отсчёта ракеты вдоль оси 𝑥 в состоянии покоя закреплена длинная труба. С двух противоположных концов в неё одновременно и с одинаковой скоростью (с точки зрения системы отсчёта ракеты) выстреливаются два одинаковых пушечных ядра. Эти ядра упруго сталкиваются в середине трубы и разлетаются вновь к её концам. До того как ядра достигают этих концов, их наглухо закрывают, и в дальнейшем ядра всё время движутся взад и вперёд в трубе без трения.
Рис. 99. Пушечные ядра, летящие навстречу друг другу.
а) Опишите движение центра масс этих двух ядер в системе отсчёта ракеты.
б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчёта. При этом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности?