в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра? ▼
60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара 𝐴 в верхнюю стенку проходит интервал времени Δ𝑡'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен Δ𝑡. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, Δ𝑡' и Δ𝑡. Найдите связь между значениями 𝑦-компоненты скорости шара 𝐴 в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за β скорость шара 𝐴 в системе отсчёта ракеты, покажите, что 𝑦-компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта β𝐴𝑦,лаб определяется выражением
β
𝐴
𝑦
,
лаб
=
β
ch θ𝑟
.
Рис. 100. Компоненты скорости шаров 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта до столкновения.
б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара 𝐴 до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара 𝐴 до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар 𝐵 в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле 𝑚β. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара 𝐴 в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара 𝐵. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:
⎛
⎜
⎜
⎝
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎝
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта.
Покажите, что отсюда следует выражение
𝑝
𝑥
=
𝑚 sh θ
𝑟
для 𝑥-компоненты импульса быстро движущегося шара 𝐴.
в) В пределе малых 𝑦-компонент скоростей величина 𝑝 𝑥 становится равной полному импульсу 𝑝 шара 𝐴, а параметр относительной скорости θ𝑟 становится равным параметру θ шара 𝐴. Отсюда следует выражение для релятивистского импульса частицы
𝑝
=
𝑚 sh θ
.
▼
61*. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
Рис. 102. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в ньютоновской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по ньютоновскому закону сложения скоростей.
а) Сохранение ньютоновского импульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (𝑚₁ и 𝑚₂). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2. Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчёта из ньютоновского закона сохранения импульса следует уравнение
𝑚₁β₁
+
𝑚₂β₂
=
𝑚₁
β
₁
+
𝑚₂
β
₂
,
в котором величина β₁ отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений движения. Чёрточки над буквами означают, что соответствующие величины взяты после соударения. Рассмотрим теперь этот же процесс в системе отсчёта ракеты. При малой относительной скорости движения ракеты β𝑟 скорость каждой частицы в системе отсчёта ракеты находится путём простого вычитания β𝑟 из скорости этой частицы в лабораторной системе отсчёта. Примените ньютоновский закон сохранения импульса к столкновению с точки зрения системы отсчёта ракеты. Покажите, что если ньютоновский импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта, он будет автоматически сохраняться и в системе отсчёта ракеты, движущейся с малой скоростью относительно лабораторной системы отсчёта.
Рис. 103. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в релятивистской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по релятивистскому закону сложения параметров скорости.
б) Из сохранения релятивистского импульса следует сохранение релятивистской энергии. Рассмотрим теперь то же столкновение с релятивистской точки зрения. Покажите, что закон сохранения релятивистского импульса в лабораторной системе отсчёта выражается уравнением
𝑚₁ sh θ₁
+
𝑚₂ sh θ₂
=
𝑚₁ sh
θ
₁
+
𝑚₂ sh
θ
₂
.
(111)
При этом массы обеих частиц остаются неизменными, так как столкновение является упругим. В случае указанных на рис. 103 направлений движения величина θ₁ отрицательна. В релятивистской механике скорости частиц в системе отсчёта ракеты могут быть найдены путём вычитания параметра относительной скорости θ𝑟 из параметра скорости этих частиц в лабораторной системе отсчёта (см. стр. 69). Примените закон сохранения импульса к этому столкновению, рассматриваемому в системе отсчёта ракеты. Используйте данные табл. 8 (стр. 77—78) для того, чтобы преобразовать все гиперболические синусы, зависящие от разностей параметров скорости. В полученном уравнении перегруппируйте члены, объединяя те из них, которые содержат ch θ𝑟 или sh θ𝑟:
(Скобка № 1)
⋅
ch θ
𝑟
-
(Скобка № 2)
⋅
sh θ
𝑟
=
0.
(112)
Величины, стоящие в скобках, уже не зависят от параметра относительной скорости θ𝑟. Если теперь потребовать, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта любой ракеты, то полученное уравнение должно выполняться при всех значениях параметра относительной скорости θ𝑟. Мы можем взять систему ракеты с любым значением параметра скорости — от нуля (когда ch θ𝑟=1 и sh θ𝑟=0) и до бесконечности (когда ch θ𝑟 равняется sh θ𝑟). Но полученное уравнение может выполняться при всех значениях θ𝑟 в указанных пределах, лишь если каждая из скобок по отдельности равна нулю. Покажите, что скобка № 1 равняется нулю, если импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта. Покажите, что скобка № 2 равняется нулю, если