⎛
⎜
⎝
Масса покоя
системы
⎞
⎟
⎠
≠
⎛
⎜
⎝
Масса покоя
излучения
(нуль)
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Масса покоя
ящика,
получившего
отдачу
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
в геометрии пространства-времени настолько же естествен, как и неравенство 5≠3+4 в эвклидовой геометрии.
Как же обстоит дело с гравитационным притяжением, действующим со стороны нашей системы на некий пробный объект? Конечно, перераспределение масс, когда излучение распространяется слева направо, приводит к изменению такого притяжения. Но пусть пробный объект находится от системы на расстоянии 𝑟, столь значительном, что подобное перераспределение пренебрежимо мало влияет на характер притяжения. Иными словами, пусть притяжение пробного объекта единичной массы определяется только той полной массой системы 𝑀, которая фигурирует в ньютоновской формуле тяготения:
⎛
⎜
⎝
Сила, действующая
на единичную массу
⎞
⎟
⎠
=
𝐺𝑀
𝑟²
.
Если так, то не ощутит ли наш удалённый приёмник мгновенного уменьшения силы гравитационного притяжения в тот момент, когда излучение распространяется через ящик? Разве масса покоя излучения не равна нулю, тогда как масса покоя ящика, испытавшего отдачу, стала меньше первоначальной массы покоя 𝑀 системы? Не стала ли, таким образом, полная тяготеющая масса меньше, чем вначале, вследствие протекающего процесса переноса? Нет! Масса покоя системы — и мы повторим это — не равна сумме масс покоя её отдельных частей. Вместо этого она равна абсолютной величине полного 4-вектора энергии-импульса системы. Но ни полный импульс системы (равный в нашем случае нулю!), ни её полная энергия ни в какой момент времени не изменяются: ведь наша система изолирована. Поэтому не меняется и абсолютная величина 𝑀 полного 4-вектора энергии-импульса (рис. 107). А это в конце концов значит, что не изменяется и гравитационное притяжение.
Во всём этом анализе была, однако, одна небольшая подтасовка: ящик в действительности не может двигаться как твёрдое тело. Если бы он мог так двигаться, то информация об отделении излучения от левой стенки могла бы быть получена по наблюдению движения противоположной — правой — стенки задолго до прихода к ней самого излучения, т.е. эта информация была бы передана с большей скоростью, чем распространяется свет! На самом же деле толчок отдачи, вызванный генерацией излучения, распространяется по боковым стенкам ящика в виде волны колебания, т.е. со скоростью звука, и эта волна достигает противоположного конца намного позднее, чем туда приходит излучение. Тем временем акт поглощения излучения в правом конце ящика возбуждает другую волну колебания, которая движется назад по боковым стенкам ящика. Добавить к нашей задаче исследование колебаний ящика значило бы усложнить анализ, но не изменить сколько-нибудь существенно полученные выше выводы.
68*. Устойчивость фотона
Покажите, что изолированный фотон не может раздробиться на два фотона, распространяющихся в направлениях, не совпадающих с направлением распространения первоначального фотона. (Указание. Используйте законы сохранения импульса и энергии и тот факт, что третья сторона треугольника короче, чем сумма двух других сторон. О каком треугольнике идёт речь?) ▼
69*. Давление света
а) Вычислите полную силу, с которой действует луч одноваттного фонарика.
б) Основываясь на значении солнечной постоянной (1,4 квт/м²; см. упражнение 62), вычислите величину давления солнечного света на спутник Земли. Рассмотрите как отражающие, так и поглощающие поверхности, а также «реальные» поверхности (с частичным поглощением). Почему несуществен цвет падающего света?
в) Частицы, размеры которых меньше некоторых критических, могут быть вытолкнуты из солнечной системы давлением солнечного света. Критические размеры определяются равенством выталкивающей силы и силы гравитационного притяжения частиц Солнцем. Оцените эти размеры, сделав все необходимые предположения. Перечислите в своём ответе сделанные предположения. Зависят ли полученные критические размеры от расстояния частиц от Солнца? ▼
70*. Эффект Комптона
Рис. 108. Комптоновское рассеяние фотона на электроне.
Рис. 109. Диаграмма сохранения импульса при комптоновском рассеянии. Вспомните закон косинусов: 𝑃² = 𝑝² + 𝑝² - 2𝑝𝑝 cos φ .
В 1923 г. Артур Комптон показал, что рассеянные на свободных электронах рентгеновские лучи (фотоны) имеют после рассеяния меньшую энергию, чем до рассеяния 1). Этот эксперимент расценивается многими как самое ценное достижение физического опыта 20-х годов. Рассмотрим столкновение фотона с энергией 𝐸ф и электрона, который первоначально покоился; определим энергию фотона после рассеяния под углом φ к направлению своего падения. Угол φ носит название угла рассеяния. Мы примем следующие обозначения:
1) A. H. Compton, Physical Review, 22, 411 (1923).
До рассеяния
После рассеяния
Электрон
𝐸, 𝑃
𝐸
,
𝑃
Фотон
𝐸
ф
,
𝑝
𝐸
ф
,
𝑝
Не пользуйтесь в своих рассуждениях ни ℎ, ни ν, ни β, ни θ, ни λ, а только одними законами сохранения импульса и энергии да уравнениями
𝐸²
-
𝑃²
=
𝑚²
для электрона,
𝐸
ф
²
-
𝑝²
=
0
для фотона.
Начертите график выраженной в единицах энергии покоя электрона энергии рассеянного фотона в функции угла рассеяния φ для того случая, когда энергия падающего фотона вдвое превышает энергию покоя электрона (2⋅0,511 Мэв).
Рис. 110. Результаты эксперимента Комптона, в котором фотоны рассеивались на электронах в графитовой мишени.
При расположении детектора на всех углах, кроме φ=0, наблюдаются фотоны, рассеянные с потерей энергии (электроны испытывают отдачу), наряду с теми фотонами, которые почти или вообще не потеряли энергии (отдачу испытывает система электрон + атом как целое)
Собственно, опыты Комптона показали, что некоторые фотоны рассеиваются без заметного изменения энергии (рис. 110). Это были фотоны, рассеивавшиеся на электронах, связь которых в атоме оказалась настолько крепкой, что отдача передавалась атому как целому. Покажите, что для фотонов, рассеивающихся на крепко связанных в атомах средней массы [например, 10⋅2000⋅(масса электрона)] электронах, изменение энергии пренебрежимо мало. ▼
71*. Измерение энергии фотона
Рис. 111. Измерение энергии фотона.
Пусть некий данный радиоактивный источник испускает фотоны высокой энергии (рентгеновские лучи), характерной для соответствующих радиоактивных ядер. Поэтому точные измерения энергии часто могут быть использованы для выяснения состава даже мельчайшего образца. В установке, схема которой дана на рис. 111, регистрируются лишь такие события, когда срабатывание счётчика 𝐴 (попадание в него электрона) сопровождается срабатыванием счётчика 𝐵 (попадание рассеянного фотона). Чему равна энергия падающих фотонов, детектируемых таким способом (в единицах энергии покоя электрона)? ▼