72*. Энергия и частота фотона
В 1900 г. Макс Планк открыл, что свет частоты ν (число колебаний в секунду) с необходимостью следует признать состоящим из квантов (выражение Планка) или фотонов (более позднее выражение Эйнштейна), каждый из которых обладает энергией 𝐸=ℎν/𝑐² (выраженной здесь в единицах массы), где ℎ — универсальный коэффициент пропорциональности, именуемый постоянной Планка. Но как может быть правильной формула Планка, если, как мы теперь знаем, не только 𝐸, но и ν зависит от выбора системы отсчёта, в которой мы наблюдаем свет?
а) Как изменяется энергия фотона при преобразовании Лоренца? Возьмём фотон с энергией 𝐸 (и импульсом 𝑝=𝐸, движущийся в положительном направлении оси х в лабораторной системе отсчёта. Требуется с помощью закона преобразования 4-вектора энергии-импульса найти выражение для энергии 𝐸' этого фотона в системе отсчёта ракеты через одни только величины 𝐸 и θ𝑟.
б) Определите, как изменяется частота света ν при преобразовании Лоренца. Говоря конкретнее, пусть отрезок синусоиды («серия вспышек») света распространяется в положительном направлении оси 𝑥 так что в течение одного метра светового времени мимо начала лабораторной системы отсчёта проходит ν/𝑐 горбов волны. Имеется в виду, что нулевой или «опорный» горб (или вспышка) проходит мимо начала в нулевой момент времени и что начало системы отсчёта ракеты совпадает с началом лабораторной системы в этот же момент. Требуется показать, что координата 𝑥 горба № 𝑛 связана с моментом наблюдения (в метрах) соотношением
𝑛
=
ν
𝑐
(𝑡-𝑥)
.
На том же основании в системе отсчёта ракеты получается соотношение
𝑛
=
ν'
𝑐
(𝑡'-𝑥')
.
Выразите последнюю формулу через лабораторные координаты, пользуясь преобразованием Лоренца (введя параметр относительной скорости θ𝑟). Насколько можно, упростите полученное выражение, пользуясь формулой
ch θ
±
sh θ
=
𝑒
±θ
из табл. 8, где 𝑒 — основание натуральных логарифмов: 𝑒=2,718281… Сравните полученное выражение для 𝑛 с формулой для 𝑛 в лабораторной системе отсчёта и, пользуясь тем, что обе формулы зависят от 𝑥 и 𝑡, найдите простое выражение для ν' через ν и θ𝑟.
в) Сравните выводы, полученные вами в пунктах (а) и (б). Покажите, что в случае света, распространяющегося в направлении относительного движения двух систем отсчёта, преобразование энергии фотона при переходе между этими системами совпадает с аналогичным преобразованием частоты световой волны. Этот вывод справедлив для произвольного направления распространения света (см. упражнение 75). Итак, если мы связали фотоны со световой волной в одной системе отсчёта, эта связь сохранится во всех других системах. Из теории относительности не следует определённого численного значения постоянной Планка ℎ в формуле, связывающей энергию (в единицах массы) и частоту; 𝐸=(ℎ/𝑐²) ν. Из опыта следует, что постоянная Планка ℎ равна 6,63⋅10⁻³⁴ дж⋅сек 1). Покажите, что, если энергия измеряется в обычных единицах, связь между энергией и частотой принимает вид
𝐸
обычн
=
ℎν
(энергия в обычных единицах).
(115)
1) Более привычны единицы — грамм, сантиметр и секунда, в которых 𝑐=3⋅10¹⁰ см/сек, ℎ=6,63⋅10⁻²⁷ эрг⋅сек, а 𝑔=980 см/сек². — Прим. перев.
г) Покажите, что формула, описывающая эффект Комптона (упражнение 70), принимает при этом вид
ν
=
ν
.
1
+
ℎν
(1-cos φ)
𝑚𝑐²
(116)
Идея о том, что рассеянная (переизлучённая) волна обладает пониженной частотой, когда электрон получает электрический удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века. ▼
73*. Гравитационное красное смещение
Следующие две задачи предполагают некоторое знакомство с определёнными элементарными фактами теории тяготения:
I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой 𝑚₁ притягивает объект с массой 𝑚₂ (также малый либо сферически симметричный) с силой 𝐹=𝐺𝑚₁𝑚₂/𝑟². Здесь 𝑟 — расстояние между центрами этих объектов, а 𝐺 - ньютоновская гравитационная постоянная:
𝐺
=
6,67⋅10⁻¹¹
м
³
/
сек
²⋅
кг
=
6,67⋅10⁻⁸
см
³
/
сек
²⋅
г
.
II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки 𝑟 в точку 𝑟+𝑑𝑟 против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы 𝑚, равна
𝐺𝑚
=
𝑑𝑟
𝑟²
.
Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как
𝑑𝑊
=
𝐺𝑚
𝑐²
⋅
𝑑𝑟
𝑟²
=
𝑚*
⋅
𝑑𝑟
𝑟²
(117)
(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).
III. В этой формуле первый сомножитель, 𝑚*=𝐺𝑚/𝑐², имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (𝑚=5,983⋅10²⁴ кг) равна в единицах длины 𝑚Земля*=4,44⋅10⁻³ м тогда как масса Солнца (𝑚=1,987⋅10³⁰ кг) равна 𝑚Солнце*=1,47⋅10³ м.
IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии 𝑟 от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна
𝑊
=
𝑚*
𝑟
(118)
из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть
𝑔*
=
𝐺𝑚З
𝑐²
⋅
1
𝑟З²
=
𝑚З*
𝑟З²
есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус 𝑟З), выраженное в м/м².
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?
в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту 𝑧 в однородном гравитационном поле 𝑔*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией 𝐸=𝑇. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой ν состоит из фотонов энергии 𝐸=ℎν/𝑐² (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты: