Δν
ν
=-
𝑔*𝑧
(однородное гравитационное поле).
г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы 𝑀 (кг) или 𝑀* (м) и радиуса 𝑟. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой
Δν
ν
=-
𝑀*
𝑟
.
(119)
Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца. ▼
74*. Плотность спутника Сириуса
Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (𝑚≈2⋅10³⁰ кг, 𝑚*≈1,5⋅10³ м).
Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7⋅10⁻⁴ от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов. ▼
Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
75. Формулы Допплера
Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости 𝑥𝑦 в направлении, образующем угол φ с осью 𝑥, так что он обладает компонентами импульса 𝑝 𝑥=𝑝 cos φ, 𝑝 𝑦=𝑝 sin φ и 𝑝 𝑧=0.
а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение 𝐸²-𝑝²=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией 𝐸',
𝐸'
=
𝐸 ch θ
𝑟
⋅
(1-β
𝑟
cos φ)
,
(120)
и движется в направлении, образующем с осью 𝑥' угол φ', причём
cos φ'
=
cos φ-β𝑟
1-β𝑟 cos φ
.
(121)
б) Найдите обратные уравнения, выражающие 𝐸 и cos φ через 𝐸', cos φ' и β𝑟. Сравните эти обратные уравнения с полученными в упражнении 22 («эффект прожектора»).
в) Если частота света в лабораторной системе отсчёта равна ν, то чему равна частота этого света ν' в системе отсчёта ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релятивистского эффекта Допплера (упражнение 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчёта покоится источник фотонов? ▼
76. Распад π⁰-мезона; подробный пример
Нейтральный пи-мезон (π⁰-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчёта в направлении оси 𝑥 и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчёта ракеты, где мезон покоится, эти фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦'. Определите энергии фотонов в системе отсчёта ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчёта.
Решение. В системе отсчёта ракеты π⁰-мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в противоположных направлениях в той системе отсчёта, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов 𝐸'=𝑝'). Таким образом, в системе отсчёта ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, 𝐸'=𝑚/2. Кроме того, эти фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦' (φ=±90°, так что cos '=0).
Энергия и направление вылета каждого из фотонов в лабораторной системе отсчёта могут быть найдены по формулам, полученным в упражнении 75:
𝐸
=
𝐸' ch θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos φ')
,
cos φ
=
cos φ'+β𝑟
1+β𝑟 cos φ'
.
Прежде всего необходимо найти величины θ𝑟, и β𝑟. Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона в лабораторной системе отсчёта до его распада была равна массе покоя; тогда
𝐸
π
≡
𝑚 ch θ
𝑟
≡
𝑇
+
𝑚
=
2𝑚
,
откуда
ch θ
𝑟
=
1
√1-β𝑟²
=
2
,
так что
β
𝑟
=
√3
2
.
Подставьте теперь эти данные и величину 𝐸'=𝑚/2 в уравнения преобразования, и вы получите
𝐸
=
𝑚
,
cos φ
=
β
𝑟
=
√3
2
,
так что φ=30°. Величину энергии можно было бы найти непосредственно по симметрии распада и по равенству полной энергии мезона до распада 2𝑚. Выводы подытожены на рис. 112. Проверьте, что в лабораторной системе отсчёта импульс сохраняется, как и энергия.
Рис. 112. Решение задачи о распаде π⁰-мезона.
77. Полёт неоновой лампочки
Неоновая лампочка, которая в своей системе покоя изотропно во всех направлениях излучает красный свет, приближается к наблюдателю с очень большого расстояния, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, по прямолинейному пути, отстоящему от наблюдателя на расстоянии 𝑙 по перпендикуляру. С течением времени изменяются как цвет излучения, так и число фотонов, приходящих к наблюдателю от лампочки. Качественно опишите эти изменения на различных этапах движения. Рассмотрите как эффект Допплера, так и «эффект прожектора» (упражнения 75 и 22). ▼
78. Физик и светофор
Физика задержали за то, что он поехал на красный свет. На суде он заявил, что приближался к перекрёстку на скорости, при которой красный свет казался ему зелёным. Судья, получивший в своё время физическое образование, обвинил тогда физика в превышении предельной скорости и присудил его к уплате одного доллара за превышение местного предела скорости 20 миль/час на каждую милю в час. Чему равна сумма штрафа? Примите длину волны зелёного света равной 5300 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м), а длину волны красного света — 6500 Å. Учтите, что свет распространялся в отрицательном направлении оси 𝑥 (φ=φ'=π). ▼