Гамма-квант с энергией 14,4 кэв, испущенный ядром 𝙵𝚎⁵⁷ без отдачи, летит вертикально вверх в однородном гравитационном поле. Чему будет равно относительное уменьшение энергии этого фотона при подъёме его на высоту 𝑧 (упражнение 73)? С какой скоростью и в каком направлении должен двигаться расположенный на такой высоте поглотитель, содержащий 𝙵𝚎⁵⁷, чтобы этот гамма-квант мог быть рассеян им без отдачи? Вычислите, чему равна такая скорость при высоте 22,5 м. Постройте чертёж зависимости числа зарегистрированных в единицу времени гамма-квантов от скорости движения поглотителя в двух предположениях: а) существования гравитационного красного смещения и б) отсутствия гравитационного красного смещения. В эксперименте, произведённом Паундом и Ребкой 1), из очень большого числа показаний счётчика фотонов был получен после статистического анализа результат: относительный сдвиг частоты при данных условиях Δν/ν₀=(2,56±0,26)⋅10⁻¹⁵.
1) R. V. Роund, G. A. Rеbka, Physical Review Letters, 4, 337(1960).
▼
89**. Проверка парадокса часов с помощью эффекта Мёссбауэра
История с Петром, оставившим своего брата-близнеца Павла в земной лаборатории, улетевшим с огромной скоростью и обнаружившим по возвращении, что Павел стал старше его, так противоречит нашему житейскому опыту, что для нас будет полной неожиданностью узнать, что такой опыт уже проделан, а предсказания теории полностью подтвердились! Чалмерс Шервин заметил, что в качестве близнецов можно взять два одинаковых атома железа с тем же успехом, как два живых существа 2). Пусть один из этих атомов всё время покоится, а другой движется по замкнутому пути, совершая, возможно, несколько кругов. Относительное различие в старении атомов-близнецов будет одним и тем же после миллиона кругов, как и после одного круга, но тогда его будет легче измерить. Как же заставить второй атом проделать множество круговых путешествий? Включим его в горячий кусок железа, где он будет колебаться взад и вперёд вокруг положения равновесия (тепловое возбуждение!). Как теперь измерить разницу в темпах старения? В истории с Петром и Павлом можно считать число праздничных хлопушек, которые каждый из них взрывал в свои дни рождения в период, пока они были разлучены друг с другом. В эксперименте с атомами железа сравнивается не число вспышек хлопушек между моментами расставания и встречи, а частота фотонов, испущенных в процессах без отдачи, т.е. фактически число «тик-так», сосчитанных двумя тождественными ядерными часами в течение одной лабораторной секунды. Иными словами, сравнивались эффективные частоты ВНУТРЕННИХ ядерных колебаний (не путать с колебаниями взад и вперёд атома железа как целого!) для наблюдаемых в лаборатории: а) покоящегося ядра железа и б) ядра железа в горячем образце.
2) Chalmers Shеrwin, Physical Review, 120, 17 (1960).
Покоящееся ядро железа получить трудно. Поэтому в реальном эксперименте сравнивались эффективные внутренние ядерные частоты, не для (а) и (б), а для (б) и (б'): двух кристаллов железа при разных температурах 𝑇 и 𝑇+Δ𝑇. Паунд и Ребка 1), произведя измерения, нашли, что более тёплый образец (Δ𝑇=1°𝐊) обладает относительным изменением эффективной частоты
1) R. V. Роund, G. A. Rеbka, Physical Review Letters, 4, 274 (1960).
Δν
ν
=
(-2,09±0,24)
⋅
10⁻¹⁵
(меньшее число колебаний; меньшее число «тик-так»; меньшее число дней рождения; замедление старения!).
Чтобы было проще понять этот эксперимент, возвратимся к идее покоящегося атома железа и атома-близнеца, подвергнутого тепловому возбуждению при температуре 𝑇. Предскажите относительное уменьшение числа внутренних колебаний в горячем образце за лабораторную секунду и сравните предсказание с данными опыта.
Рис. 116. Сравнение хода покоящихся ядерных часов с ходом ядерных часов, совершающих тепловое движение.
Обсуждение. На рис. 116 дано сравнение числа эффективных «тик-так» двух «внутренних ядерных часов» за интервал лабораторного времени 𝑑𝑡. Имейте в виду, что скорость атомов при тепловом возбуждении составляет около 10⁻⁵ от скорости света. Как можно приближённо представить коэффициент расхождения частот 1-√1-β²? Насколько уменьшается число «тик-так» горячего атома по сравнению с холодным, приходящееся на интервал лабораторного времени 𝑑𝑡? Покажите, что накапливающийся дефект числа «тик-так» для горячего атома составляет в 1 сек
ν₀
⎛
⎜
⎝
β²
2
⎞
⎟
⎠
средн
(1
сек
)
,
где через (β²)средн обозначена «средняя квадратичная величина скорости атома» (в единицах скорости света). Заметьте, что средняя кинетическая энергия теплового возбуждения горячего атома железа (масса 𝑚𝙵𝚎=57𝑚протон) Даётся классической кинетической теорией газов в виде
1
2
𝑚
𝙵𝚎
(β²)
средн
²
=
3
2
𝑘𝑇
.
Здесь 𝑘 — постоянная Больцмана — множитель перехода между двумя единицами энергии, градусами и джоулями (или градусами и эргами); 𝑘=1,38⋅10⁻²³ дж/град (𝑘=1,38⋅10⁻¹⁶ эрг/град). Как согласуется результат эксперимента Паунда и Ребки с результатом вашего исчисления? ▼
Д. СТОЛКНОВЕНИЯ
90. Симметричное упругое столкновение
При упругом столкновении частицы с массой 𝑚 и кинетической энергией 𝑇 с частицей той же массы, находившейся в состоянии покоя, направления скоростей частиц после столкновения образуют разные углы с первоначальным направлением движения первой частицы, если энергии частиц после рассеяния различны. Однако ньютоновская механика предсказывает, что угол α между векторами скорости частиц после рассеяния всегда равен 90°. Иное предсказание делает механика теории относительности: согласно ей этот угол должен быть меньше 90° (см. упражнение 40). Вопрос: насколько меньше 90° должен быть угол α в простейшем случае симметричного упругого столкновения, когда частицы после рассеяния обладают одинаковыми энергиями и разлетаются под одинаковыми углами к первоначальному направлению движения первой частицы (рис. 117)? Определите угол, исходя лишь из законов сохранения импульса и энергии в релятивистской форме.
Рис. 117. Симметричное упругое столкновение тождественных частиц.
Обсуждение. Чему равна полная энергия системы до столкновения? Какой должна быть поэтому полная энергия каждой из двух частиц после столкновения? Чему должен быть поэтому равен импульс частицы? (См. введение к упражнениям на стр. 179, где сказано о взаимосвязи между импульсом и энергией и о том, почему следует избегать всякого упоминания или использования скорости в задачах, относящихся лишь к импульсу и энергии). Каков был начальный импульс системы? Покажите, что искомый угол определяется выражением
cos²
α
2
=
𝑇+2𝑚
𝑇+4𝑚
.
Отсюда с помощью тригонометрического тождества
cos²
α
2
=
1
2
(1+cos α)
получите выражение
cos α
=
𝑇
𝑇+4𝑚
.
(124)
Чему равен полный угол α: 1) для ньютоновского упругого столкновения при малой скорости и 2) для ультрарелятивистского столкновения с очень большой величиной 𝑇? ▼