91. Давид и Голиаф — подробный пример
Какой минимальной кинетической энергией должен обладать электрон для того, чтобы передать половину своей кинетической энергии первоначально покоившемуся протону при упругом лобовом соударении? Проведите свои вычисления таким образом, чтобы в конце концов прийти к одному-единственному уравнению, решая которое можно (и должно) определить одну безразмерную неизвестную величину 𝑇𝑒/𝑚𝑝, где 𝑇𝑒 — кинетическая энергия налетающего электрона, а 𝑚𝑝 — масса покоя протона. Определите величину 𝑇𝑒,обычн в Мэв, приближённо принимая 𝑚𝑝 𝑐²≈1000 Мэв. (Если вы будете решать это уравнение приближённо, дайте оценку погрешности).
Решение. Эта задача сводится к алгебраическим преобразованиям, и главное в ней — избежать ненужных алгебраических преобразований! Столкновение предполагается упругим, так что электрон и протон не уничтожаются в результате его и не возникает никакого излучения. В этом случае закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии. Обозначим через 𝑇𝑒 кинетическую энергию налетающего электрона. В условии сказано, что после столкновения протон обладает половиной энергии налетающего электрона: 𝑇𝑝=𝑇𝑒/2. Поэтому и электрон уносит также половину своей первоначальной кинетической энергии: 𝑇𝑒=𝑇𝑒/2.
Столкновение является лобовым, так что все движения происходят вдоль оси 𝑥, а импульсы складываются как скаляры с учётом лишь их знаков. Электрон отскочит от протона, и поэтому его импульс после столкновения будет отрицательным. Из закона сохранения импульса следует
𝑝
𝑒
=
𝑝
𝑝
-
𝑝
𝑒
.
Чтобы связать импульс с энергией, воспользуемся общей формулой
𝐸²
-
𝑝²
=
𝑚²
,
откуда
𝑝²
=
𝐸²
-
𝑚²
=
(𝑇+𝑚)²
-
𝑚²
=
=
𝑇²
+
2𝑚𝑇
+
𝑚²
-
𝑚²
=
𝑇²
+
2𝑚𝑇
,
подчёркнутые члены взаимно уничтожаются, так что
𝑝
=
√
𝑇²+2𝑚𝑇
.
Поэтому закон сохранения импульса можно переписать в виде
√
𝑇
𝑒
²+2𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
=
⎛
⎝
𝑇
𝑝
²
+
2𝑚
𝑝
𝑇
𝑝
⎞½
⎠
-
⎛
⎝
𝑇
𝑒
²
+
2𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
⎞½
⎠
.
Подставляя сюда следствие закона сохранения энергии
𝑇
𝑝
=
𝑇
𝑒
=
𝑇𝑒
2
,
получаем
√
𝑇
𝑒
²+2𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
=
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒²
4
+
𝑚
𝑝
𝑇
𝑒
⎞½
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒²
4
+
𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
⎞½
⎟
⎠
.
Деление этого соотношения с обеих сторон на √𝑇𝑒𝑚𝑝 даёт
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
+
2𝑚𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
⎞½
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
𝑚𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
.
Как и требовали условия задачи, в этом уравнении имеется лишь одна неизвестная величина 𝑇𝑒/𝑚𝑝. Мы решим его приближённо, исходя из того факта, что масса покоя электрона приблизительно в 2000 раз меньше массы покоя протона, т.е. 𝑚𝑒/𝑚𝑝≪1. Пренебрежём этим отношением в только что полученном выражении и найдём
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
≈
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
⎞½
⎟
⎠
-
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
,
3
2
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
≈
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
⎞½
⎟
⎠
.
Возводя обе стороны в квадрат, найдём
9
4
𝑇𝑒
𝑚𝑝
≈
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
,
𝑇𝑒
𝑚𝑝
≈
1
2
.
Правильный ответ может отличаться от этого на часть или кратное величины 𝑚𝑒/𝑚𝑝=1/2000. Умножая решение с обеих сторон на 𝑚𝑝 𝑐², получим
𝑇
𝑒,
обычн
=
𝑇
𝑒
𝑐²
=
𝑚𝑝 𝑐²
2
=
1000 Мэв
2
=
500
Мэв
.
92. Абсолютно неупругое столкновение
Рис. 118. 4-вектор энергии-импульса составной частицы после абсолютно неупругого соударения.
На первоначально покоившуюся свободную частицу массы 𝑚₁ налетает вторая частица с кинетической энергией 𝑇 и другой массой покоя 𝑚₁. При столкновении частицы слипаются и в дальнейшем движутся вместе. Чему равна масса покоя 𝑚 составной частицы после столкновения? При каких условиях масса покоя составной частицы сводится к ньютоновской величине 𝑚=𝑚₁+𝑚₂? Какой может быть с точки зрения этих условий максимальная величина кинетической энергии 𝑇 налетающей частицы, когда ньютоновский подход приблизительно справедлив? Обсуждение. Чему равен импульс системы до столкновения? Чему равен он после столкновения? Какие величины, изображённые на рис. 118, известны, а какие требуется определить, если дан импульс системы? Применима ли теорема Пифагора к «гипотенузе» этого «треугольника»? ▼
93*. Порождение частиц протонами
Ускорители для получения частиц высоких энергий строятся, в частности, для того, чтобы создавать в больших количествах для исследовательских целей некоторые из частиц с коротким временем жизни, которые в обычных условиях попадают в лаборатории лишь случайно как результат воздействия космических лучей. В процессе их порождения часть кинетической энергии частиц высокой энергии, полученных в ускорителе, превращается в массу покоя этих новых частиц. В 1955 г. Сегре с сотрудниками получил в Калифорнийском университете, Беркли, антипротоны (частицы той же массы, что протоны, но с отрицательным зарядом), бомбардируя пучком протонов покоящуюся мишень, содержащую водород (протоны) 1). Ряд законов сохранения, действующих в физике элементарных частиц (сохранение заряда, сохранение числа барионов — тяжёлых частиц), требует одновременного создания вместе с антипротоном и обычного протона. Таким образом,налетающий протон и протон мишени должны сохраниться после столкновения, но плюс к этому возникает протон-антипротонная пара. Вопрос: чему равна та минимальная кинетическая энергия налетающего протона, которая способна вызвать образование пары? Эту минимальную кинетическую энергию называют пороговой энергией.