tg(φ+𝑑φ)
≈
𝐿 sin φ-(𝐿 cos φ)(β𝑟²sin α)
𝐿 cos φ
=
=
tg φ
-
β
𝑟
²sin α
.
(131)
Требуется найти tg 𝑑φ≈𝑑φ; согласно табл. 8,
tg 𝑑φ
=
tg[(φ+𝑑φ)-φ]
=
tg(φ+𝑑φ)-tg φ
1+tg(φ+𝑑φ)⋅tg φ
.
Используя равенство (131), получим
tg 𝑑φ
=
tg φ-β𝑟²sin α-tg φ
1+(tg φ-β𝑟²sin α) tg φ
=
=
-β𝑟²sin α
1+tg²φ-β𝑟²sin α tg φ
.
При очень малых α можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма
1+tg²φ
=
1+
sin²φ
cos²φ
=
cos²φ+sin²φ
cos²φ
=
1
cos²φ
,
так что
tg 𝑑φ
≈
𝑑φ
=-
β
𝑟
²sin α
cos²φ
.
(132)
Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на α, в общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом φ к направлению движения электрона.
г) Из уравнения (132) видно, на какой угол 𝑑φ поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на α, один раз огибая угол. Чему будет тогда равен полный угол прецессии Δφ при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128). В замкнутой орбите содержится 𝑛 поворотов, каждый из которых происходит на угол α=2π/𝑛. При больших 𝑛 (малых α) sin α≈α так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет
Δ
φ
≈-
β
𝑟
²(𝑛α)
〈cos²φ〉
ср
≈-
β
𝑟
²
〈cos²φ〉
ср
.
Чему равен множитель 〈cos²φ〉ср? Предположим, что полный угол прецессии Δφ за один оборот является малым (скорость β𝑟 мала!). Тогда при обходе электроном его орбиты угол φ между переменным направлением движения и проекцией оси вращения на плоскость орбиты пробежит все значения от 0 до 2π. Покажите, что в этом случае
〈cos²φ〉
ср
=
1
2π
2π
∫
0
cos²φ
𝑑φ
=
1
2
.
Поэтому полный угол прецессии спина электрона за один полный оборот по орбите равен
Δ
φ
=-
πβ
𝑟
²
(угол прецессии за один оборот).
(133)
д) Электрон, двигающийся со скоростью β=β𝑟, за один полный оборот по орбите прецессирует на угол Δφ=-πβ𝑟²=-πβ². Покажите, что электрону требуется совершить 2π/Δφ=2/β² оборотов вокруг ядра, чтобы прецессия возвратила его в прежнее положение (прецессия на 2π рад). Примем теперь боровскую частоту обращения электрона вокруг ядра за ν𝐵 Покажите, что частота прецессии Томаса ν𝑇 (частота прецессии спина электрона) выражается через боровскую частоту как
ν𝑇
ν𝐵
≈
1
2
β²
(частота прецессии Томаса).
(134)
Мы знаем из упражнения 101, что скорость движения электрона на орбите в элементарной теории Бора равна
β
=
α𝑍
𝑛
=
𝑍
137𝑛
.
Здесь 𝑍 — число элементарных зарядов в ядре, а 𝑛 — номер энергетического уровня электрона, причём низший (основной) уровень соответствует 𝑛=1. Отсюда следует, что частота прецессии Томаса для электрона в атоме определяется выражением
ν𝑇
ν𝐵
≈
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑇
137𝑛
⎞²
⎟
⎠
(частота прецессии Томаса).
(135)
(Замечание. В некоторых атомах имеет место дополнительная прецессия спина электрона, обусловленная моментом силы, возникающим при взаимодействии магнитного момента электрона с магнитным полем ядра. Для электрона находящегося на внутренней орбите атома водорода, такая магнитная прецессия имеет обратное направление и вдвое превышает по абсолютной величине прецессию Томаса. Поэтому полный эффект состоит в прецессии с вдвое меньшей частотой по сравнению с тем, что предсказывает один лишь учёт магнитного взаимодействия без анализа эффектов частной теории относительности).
Ж. МЕЖЗВЁЗДНЫЕ ПОЛЁТЫ
104*. Трудности межзвёздных полётов 1)
1) См. Edward Purcell, in Interstellar Communication, ed. A.G.W. Cameron, Benjamin, New York, 1963. [Русский перевод: Межзвёздная связь, изд-во «Мир», М., 1966.]
Игнорируя полностью все технические затруднения, рассмотрим лишь те трудности полётов в межзвёздные просторы, которые вызываются самой теорией относительности. Пусть имеется (в 1989 г.?) ракетный двигатель, обладающий ничтожной массой. В нем можно регулировать соединение материи и антиматерии, поступающей из баков, причём возникают одни лишь фотоны, и двигатель направляет всё это излучение в нужную сторону. Этот двигатель ускоряет космический корабль, величина массы всех конструкций которого, включая защиту, ничтожно мала. Условия контракта таковы: нужно ускорить полезный груз до скорости, при которой коэффициент замедления времени равен 10, произвести торможение для посещения планет около далёкой звезды (предполагается, что она покоится относительно нашего Солнца), а затем вернуться на Землю с такой же скоростью. Полезный груз, включая пассажиров, который требуется доставить по замкнутому маршруту, равен 100 т (100⋅10³ кг).
а) Воспользуйтесь результатами упражнения 58 для определения полной массы топлива, необходимого для путешествия по замкнутому маршруту. (Но не учетверённой величины массы того топлива, которое необходимо для единичного акта ускорения ракеты из состояния покоя до её максимальной скорости!)
б) Чему равно расстояние (в световых годах) до самой далёкой звезды, которой можно достигнуть за время жизни астронавта (предполагаемая продолжительность жизни человека в 1989 г. 100 лет)? (Для простоты пренебрегите временем работы двигателей ракеты по сравнению со значительно более длительным сроком полёта с постоянной скоростью). Какой (приблизительно) промежуток времени пройдёт на Земле в течение этого полёта?
в) Приняв плотность межзвёздной среды равной одному атому водорода на кубический сантиметр, укажите, чему равна кинетическая энергия этих атомов (в Бэв) в системе отсчёта ракеты, движущейся с максимальной скоростью? Сколько таких частиц будет попадать на 1 м лобовой поверхности ракеты в секунду и насколько велико это число по сравнению с мощностью пучка протонов высокой энергии от ускорителя (около 10¹² протонов в секунду, каждый с энергией порядка 10 Бэв)? Для защиты работников от чрезмерного облучения на таком ускорителе устанавливают щит из железобетона толщиной 3—4 м. Оцените теперь возможности межзвёздных космических путешествий! ▼