Рис 4. Доски на наклонной плоскости
△ На первый взгляд это самая обычная задача. Следует рассмотреть все действующие на доски силы и, пользуясь законами Ньютона, составить уравнения движения. Решив их, найдём ускорения 𝑎₁ и 𝑎₂, и для ответа на поставленный вопрос останется только выяснить, при каких условиях ускорение нижней доски 𝑎₁ больше ускорения верхней 𝑎₂. Однако, попытавшись выполнить эту программу, мы сразу столкнёмся с трудностью. Для решения уравнений нужно знать, как направлены все действующие силы. Но как направлены силы трения досок друг о друга? Это зависит от их относительной скорости, т.е. от того, какая из досок соскальзывает с большим ускорением. Получается заколдованный круг: чтобы найти ускорения, надо знать направления сил, а чтобы найти направления сил, требуется знать, какое из ускорений больше. Такое положение характерно для многих задач, где учитывается трение. Конечно, можно последовательно перебирать все мыслимые варианты и исключать те из них, которые приводят к нелепому результату. Но можно найти иной подход, чтобы подобных проблем не возникало.
Рис. 4.2. Действующие силы при условии, что нижняя доска выскальзывает из-под верхней
В данной задаче нам нужно только выяснить, возможно ли движение нижней доски с большим ускорением. Предположим, что это возможно, т.е. что мы подобрали такие значения масс и коэффициентов трения, при которых 𝑎₁>𝑎₂. Тогда направление всех сил определяется однозначно и указано на рис. 4.2, где 𝑭 - сила трения нижней доски о наклонную плоскость, 𝑭₁=-𝑭₂ - силы трения досок друг о друга, 𝑵 - нормальная сила реакции наклонной плоскости, 𝑵₁=-𝑵₂ - силы давления досок друг на друга. Составляя уравнения движения досок и проецируя их на направление вдоль наклонной плоскости, получаем
𝑚₁𝑔
sin α
-
𝑭
-
𝑭₁
=
𝑚₁𝑎₁
,
𝑚₂𝑔
sin α
+
𝑭₁
=
𝑚₂𝑎₂
.
Из этих уравнений сразу видно, что при любых массах и коэффициентах трения
𝑎₁
<
𝑔 sin α
,
𝑎₂
>
𝑔 sin α
,
т.е. 𝑎₁<𝑎₂ Мы получили противоречие: при предположении, что 𝑎₁>𝑎₂, из уравнений динамики следует, что 𝑎₁<𝑎₂. Так как уравнения динамики безусловно справедливы, полученное противоречие означает, что предположение о возможности движения нижней доски с большим ускорением ошибочно. ▲
5. Бусинка на вращающемся стержне.
На гладкий стержень, расположенный под углом α к вертикали, насажена бусинка (рис. 5.1). Стержень вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Описать движение бусинки по стержню. Трением пренебречь.
Рис. 5.1. Силы, действующие на неподвижную относительно стержня бусинку
△ Может ли бусинка покоиться относительно стержня? Предположим, что может. Это значит, что существует такая точка стержня (на расстоянии 𝑟 от оси вращения - см. рис. 5.1), находясь в которой бусинка относительно стержня покоится, т.е. действующие на неё сила тяжести 𝑚𝒈 и сила реакции стержня 𝑵 сообщают ей ускорение 𝒂, равное центростремительному ускорению этой точки стержня. Из рисунка видно, что
𝑚𝑔
ctg α
=
𝑚𝑎
,
(1)
откуда следует (так как 𝑎=ω²𝑟), что 𝑟=(𝑔/ω²)ctg α. Помещённая в эту точку бусинка покоится относительно стержня. Таким образом, положение равновесия бусинки на вращающемся стержне существует.
Рис. 5.2. Чтобы удержать бусинку в смещённом вверх положении, нужна сила 𝑭, действующая вниз вдоль стержня
Будет ли равновесие устойчивым? Другими словами, как будет вести себя бусинка, если по какой-либо причине она немного сместится из этого положения? Для выяснения этого вопроса поступим следующим образом: сместим бусинку немного вверх по стержню и выясним, при каком условии бусинка будет в равновесии и в этой новой точке. Только двумя силами 𝑚𝒈 и 𝑵 здесь не обойтись, поскольку при наличии только этих двух сил положение равновесия определяется однозначно формулой (1). Нужна третья сила. Такой силой могла бы быть сила трения бусинки о стержень. Выясним, в какую сторону она должна быть направлена (рис. 5.2). Модуль и направление силы тяжести не изменились, направление нормальной силы реакции стержня 𝑵 также не изменилось. Поскольку 𝑚𝑎'>𝑚𝑎, необходимо, чтобы сила трения была направлена вниз по стержню. Но по условию задачи этой силы нет, поэтому бусинка будет скользить вверх по стержню. Аналогичными рассуждениями можно показать, что при небольшом смещении бусинки вниз она будет скользить вниз, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, положение равновесия бусинки на вращающемся стержне будет неустойчивым.
Каким будет поведение бусинки при наличии трения? Поскольку сила трения покоя может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, из предыдущих рассуждений ясно, что должен существовать целый участок на стержне, в любой точке которого бусинка будет покоиться относительно стержня. Предлагаем вам самостоятельно найти положение границ этого участка при известном коэффициенте трения. Если у вас возникнут затруднения, рекомендуем ознакомиться с задачей 7 «Брусок на наклонной плоскости». ▲
6. Монета на горизонтальной подставке.
Подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиусом 𝑟 с угловой скоростью ω. Коэффициент трения монеты о подставку равен μ. Каким будет установившееся движение монеты?
△ Из соображений симметрии ясно, что установившееся движение монеты происходит по окружности с той же угловой скоростью ω. Действительно, в горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в инерциальной лабораторной системе отсчёта. От начальных условий зависит только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством - отсутствием выделенных направлений - не обладает. Соображения симметрии позволяют сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, тоже движется по окружности. Теперь, когда мы представляем себе характер движения монеты в целом, остаётся только установить количественные соотношения между его характеристиками, в частности выразить радиусы окружностей, вычерчиваемых монетой в той и другой системах отсчёта, через приведённые в условии данные.
В горизонтальной плоскости на монету действует только сила трения со стороны подставки. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все её точки движутся по одинаковым окружностям радиуса 𝑟, то и монета движется по такой же окружности с ускорением ω²𝑟, направленным к её центру. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения μ𝑚𝑔, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии ω²𝑟≤μ𝑔, т.е. при ω²𝑟/μ𝑔≤1.
При значениях этого безразмерного параметра ω²𝑟/μ𝑔>1 (т.е. при большей угловой скорости ω, или большем радиусе 𝑟, или меньшем коэффициенте трения μ) монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору 𝒗 скорости монеты относительно подставки. При движении по окружности сила перпендикулярна скорости 𝑽 монеты в инерциальной системе отсчёта. Поэтому векторы 𝑽 и 𝒗 взаимно перпендикулярны. Скорость 𝑽 монеты в лабораторной системе отсчёта представляет собой векторную сумму скорости монеты 𝒗 относительно подставки и скорости 𝒖 той точки подставки, в которой в данный момент находится монета (хотя, разумеется, скорости всех точек подставки одинаковы при её поступательном движении):