𝑣
г
.
(1)
Обозначив вертикальную составляющую скорости нижнего шарика через 𝑣в запишем также уравнение закона сохранения механической энергии:
𝑚₂𝑣₀²
2
=
(𝑚₁+𝑚₂)𝑣г²
2
+
𝑚₂𝑣в²
2
+
𝑚₂𝑔𝑙
.
(2)
Из уравнения (2) видно, что минимальное значение скорости 𝑣₀ соответствует случаю, когда вертикальная составляющая 𝑣в в интересующий нас момент обращается в нуль: 𝑣в=0. Подставляя в (2)
𝑣
г
=
𝑣₀𝑚₂
𝑚₁+𝑚₂
из (1), получаем
𝑣
0min
=
√
2𝑔𝑙(1+𝑚₂/𝑚₁)
.
(3)
Если нижний шарик гораздо легче верхнего, т.е. 𝑚₂≪𝑚₁, верхний шарик остаётся практически неподвижным. В этом предельном случае формула (3) даёт правильное значение начальной скорости 𝑣0min=√2𝑔𝑙, очевидное и из элементарных соображений. Если же 𝑚₁≪𝑚₂, то наличие лёгкого шарика 𝑚₁ практически никак не сказывается на движении нити с тяжёлым шариком 𝑚₂ (система как бы «не замечает» присутствия лёгкого шарика). При этом соединяющая шарики нить займёт горизонтальное положение лишь тогда, когда вся длинная нить отклонится до горизонтали, т.е. при 𝑣0min=√2𝑔𝐿, где 𝐿 - суммарная длина обеих нитей. Ясно, что формула (3) в этом случае неприменима, так как она получена в предположении, что верхняя нить всё время остаётся вертикальной. ▲
10. Пуля пробивает шар.
Горизонтально летящая пуля массы 𝑚 насквозь пробивает первоначально покоившийся шар массы 𝑀 и вылетает из него со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Какая доля кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю энергию?
△ Обозначим скорость пули до столкновения с шаром через 𝑣, а приобретаемую шаром скорость через 𝑉. По условию скорость пули на вылете из шара равна 𝑣/2, поэтому уравнение закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление принимает вид
𝑚𝑣
=
𝑀𝑉
+
𝑚𝑣
2
.
(1)
Из этого уравнения сразу можно получить приобретаемую шаром скорость 𝑉:
𝑉
=
𝑚𝑣
2𝑀
.
Приращение внутренней энергии, т.е. выделяющееся при неупругом взаимодействии пули с шаром количество теплоты 𝑄, можно найти с помощью закона сохранения энергии:
𝑚𝑣²
2
=
𝑀𝑉
2
+
𝑚(𝑣/2)²
2
+
𝑄
.
(3)
Подставляя сюда 𝑉 из (2), находим
𝑄
=
𝑚𝑣²
2
⎛
⎜
⎝
3
-
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
.
(4)
Так как начальная кинетическая энергия пули 𝐸₀=𝑚𝑣²/2, то для искомого отношения 𝑄/𝐸₀ из (4) получаем
𝑄
𝐸₀
=
1
4
⎛
⎜
⎝
3
-
𝑚
𝑀
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Но можно ли считать, что полученная формула даёт ответ на поставленный вопрос? Она выражает искомую величину через приведённые в условии данные, но ставить точку рано, полученный результат нужно ещё исследовать. Очевидно, что отношение 𝑄/𝐸₀ должно быть положительным, поэтому напрашивается вывод, что формула (5) применима при 𝑚/𝑀<3. Пусть, например, отношение 𝑚/𝑀=2. Тогда формула (5) даёт для 𝑄/𝐸₀ значение ¼. Казалось бы, всё в порядке, поскольку 𝑄/𝐸₀ получилось положительным и меньшим единицы. И тем не менее этот результат не имеет смысла при приведённых в условии задачи данных. Действительно, посмотрим на формулу (2). Из неё следует, что при 𝑚/𝑀=2 скорость 𝑉=𝑣: пробитый пулей насквозь шар летит со скоростью, вдвое превышающей скорость пули 𝑣/2! Получилась явная физическая бессмыслица. Уже в процессе решения после получения формулы (2) следовало бы обратить внимание на то, что, пробив шар насквозь, пуля может иметь скорость 𝑣/2 только при выполнении условия 𝑣/2>𝑉, т.е. при
𝑚
𝑀
<
1
.
(6)
Только в совокупности с условием (6) формула (5) даёт ответ на поставленный в данной задаче вопрос. Теперь ясно, что в зависимости от отношения масс 𝑚/𝑀 во внутреннюю энергию может превратиться от половины (при 𝑚→𝑀) до трёх четвертей (при 𝑚→0) первоначальной кинетической энергии.
Теперь подумаем о том, имеет ли какой-нибудь смысл формула (5) при 1≤𝑚/𝑀≤3. Если 𝑚=𝑀, то из формулы (2) следует, что 𝑉=𝑣/2, т.е. шар и пуля имеют одинаковую скорость. Столкнувшиеся тела летят вместе, т.е. пуля застревает в шаре. В этом случае говорят об абсолютно неупругом ударе. Конечно, не следует думать, что абсолютно неупругий удар возможен только при 𝑚=𝑀: здесь так получилось, потому что в условии задана конечная скорость, равная, 𝑣/2 Если же выполняется строгое неравенство 1<𝑚/𝑀<3, то после столкновения шар летит впереди пули со скоростью 𝑉, определяемой формулой (2): 𝑣/2<𝑉<3𝑣/2. При таком неупругом ударе во внутреннюю энергию переходит до половины первоначальной кинетической энергии. Наконец, если 𝑚/𝑀=3, то, как видно из (4), 𝑄=0, т.е. тепло вообще не выделяется: при ударе сохраняется механическая энергия. Это случай абсолютно упругого удара. ▲
11. Выскальзывающая доска.
На конце доски длины 𝐿 и массы 𝑀 находится маленький брусок массы 𝑚 (рис. 11.1). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность доски равен μ. Какую горизонтальную скорость 𝑣₀ нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Рис. 11.1. Доска мгновенно получает начальную скорость 𝑣₀
△ При сообщении доске горизонтальной скорости 𝑣₀ резким толчком или ударом брусок не получает начальной скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не может превосходить μ𝑚𝑔 и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса. После толчка в системе отсчёта, связанной с землёй, брусок движется равноускоренно, а доска - равнозамедленно.
Если начальная скорость доски 𝑣₀ невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковое значение. В этот момент проскальзывание прекращается, дальше оба тела движутся равномерно с одинаковой скоростью 𝑣 как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок проскользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.
Обозначим расстояние, пройденное бруском по доске до момента превращения проскальзывания, через 𝑠. Очевидно, что при выполнении неравенства 𝑠𝐿 доска не выскальзывает из-под бруска. Если это неравенство не выполняется, то доска выскользнет из-под бруска.
Эта задача служит наглядным примером того, насколько проще и быстрее может приводить к ответу использование законов сохранения по сравнению с непосредственным применением законов динамики. Оказывается, что достаточно выписать два уравнения, соответствующих законам сохранения импульса и энергии, чтобы немедленно получить ответ.