Ошибочность этого предположения становится ещё более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как ℎ→0.
Приведённый анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.
Из приведённого качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. 5.1б). Ещё раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.
Приступим к решению задачи.
Пусть камень брошен под углом α к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали 𝑠 и по вертикали ℎ могут быть записаны следующим образом:
𝑠
=
𝑣₀
cos α⋅𝑡
,
ℎ
=
𝑣₀
sin α⋅𝑡
-
𝑔𝑡²
2
.
Поскольку время полёта камня 𝑡 нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая 𝑡 из первого уравнения и подставляя во второе, получаем
ℎ
=
𝑠 tg α
-
𝑔𝑠²
2𝑣₀²cos²α
.
(1)
Это уравнение содержит две неизвестные величины 𝑣₀ и α и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению 𝑣₀.
Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении 𝑣₀ как функции от α из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно α. Используя известное соотношение 1/cos²α=1+tg²α, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно tg α:
𝑔𝑠²tg²α
-
2𝑣₀²𝑠
tg α
+
𝑔𝑠²
+
2𝑣₀²ℎ
=
0.
(2)
Решив его, получим
tg α
=
1
𝑔𝑠
⎡
⎣
𝑣₀²
±
√
𝑣₀⁴-𝑔(𝑔𝑠²+2𝑣₀²ℎ)
⎤
⎦
.
Казалось бы, ничего хорошего не получается - громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для tg α физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
𝑣₀²
-
2𝑔ℎ𝑣₀²
-
𝑔²𝑠²
≥
0.
Легко убедиться, что минимальное значение 𝑣₀² при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,
𝑣₀²
min
=
𝑔(ℎ+√
ℎ²+𝑠²
)
.
(Второй корень 𝑣₀²min=𝑔(ℎ-√ℎ²+𝑠²) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид
𝑣₀
min
=
⎛
⎝
𝑔(ℎ+√
ℎ²+𝑠²
)
⎞½
⎠
.
(3)
Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для tg α. При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т.е. при заданном значении 𝑣₀ камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т.е. ни при каком значении угла α камень не попадёт в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полёта камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для tg α имеет особенно простой вид:
tg α
=
𝑣₀²min
𝑔𝑠
=
ℎ+√ℎ²+𝑠²
𝑠
.
(4)
Проверим правильность полученного результата предельными переходами.
1. Если ℎ=0, то tg α=1, т.е. камень нужно бросить под углом π/4. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полёта по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности - минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.
2. Если 𝑠→0 то tg α→∞ а α→π/2. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.
Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для tg α имели физический смысл, т.е. были вещественными.
Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии 𝑠 чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум 𝑣₀ при заданном ℎ, можно искать максимум ℎ при заданном 𝑣₀.
Предположим, что 𝑣₀ задано. Тогда, выразив ℎ из (2):
ℎ
=-
𝑔𝑠²
2𝑣₀²
tg²α
+
𝑠 tg α
-
𝑔𝑠²
2𝑣₀²
,
легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно tg α на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена 𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎<0) имеет место при 𝑥=-𝑏/2𝑎 и равен 𝑐-𝑏/4𝑎.) Максимальное значение ℎ достигается при tg α=𝑣₀²/𝑔𝑠 и равно
ℎ
=
𝑣₀²
2𝑔
-
𝑔𝑠
2𝑣₀²
.
(5)
Из (5) находим минимальное значение начальной скорости 𝑣₀ при заданной высоте цели ℎ, совпадающее с полученным ранее. ▲
6. В цель за стеной.
Между целью и миномётом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой ℎ. Расстояние от миномёта до стены равно 𝑎, а от стены до цели 𝑏. Определить минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Рис. 6.1. Траектории, проходящие через цель
△ Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока никаких формул. Рассмотрим все траектории, проходящие через цель, забыв на время о существовании стены. На рис. 6.1 выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол α=45°. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и всё.
Теперь остаётся только записать эти рассуждения на математическом языке, т.е. получить выражения для вычисления начальной скорости 𝑣₀ и угла α в каждом из этих случаев.
Прежде всего получим общее уравнение траектории, проходящих через цель. Как мы уже знаем, уравнение траекторий, выходящих из начала координат, имеет вид
𝑦
=
𝑥 tg α
-
𝑔𝑥²
2𝑣₀²
(1+tg²α)
.
(1)
Потребуем, чтобы эти траектории проходили через цель. Для этого положим в (1) 𝑦=0 при 𝑥=𝑎+𝑏: