Возвращаясь из своей первой экспедиции на родину, Кук решил исследовать единственный крупный массив суши, который еще оставался совсем не изученным, не считая полярных областей, а именно восточное побережье Австралии. Никто из европейцев, кроме голландца Тасмана, никогда не видел и не ступал на восточную часть этого материка. Как рассказывалось выше, Кук первый посетил бухту, которую сопровождавшие его ученые Соландер и Бэнкс хотели назвать залив Ботани. В конце мая 1770 года «Индевор» проложил путь примерно между заливом Порт-Стивенс и мысом Шугарлоф, где находится баркас «ботаников». Отсюда до южной оконечности Большого Барьерного рифа в современном представлении около 900 километров по открытому морю. Расстояние от южного островка Барьерного рифа до мыса Йорк около 1600 километров. От мыса Йорк до острова Тимор в Голландской Ост-Индии расстояние еще 1600 километров.
Кук закартографировал контуры этих акваторий и окружающей суши. В ходе этого опасного плавания ему удалось составить навигационную карту, копией которой располагали люди в баркасе. Кук давал названия всему, что он видел: островам, проливам, мысам и горам. За несколько месяцев он распределил более 200 названий и, по-видимому, ни разу не оказывался в затруднительном положении, присваивая названия. Гавайский архипелаг он назвал по имени лорда Сандвича, который ныне, наверное, больше всего известен по кускам хлеба с мясом, которые он очень сильно любил есть, играя в карты. Небольшие горы, острова и реки получали названия по именам судовых офицеров, которые первыми замечали их. Кук был демократом: даже унтер-офицеры могли запечатлеть свои имена на навигационной карте, если им везло. Впрочем, Кук следовал тогдашнему принципу присвоения географических названий, действовавшему еще более полувека после его кончины. Острова Понедельник, Вторник и Среда получили свои названия, поскольку впервые их увидели мореплаватели в соответствующие дни недели. По сходным причинам календарного рода были даны названия островам Пасхи, Троицы и Рождества. В силу ряда случайностей были окрещены острова в Торресовом проливе и к западу от Большого Барьерного рифа. Рассказывают, что судовому коку было дано обещание, что в его честь назовут остров, если он приготовит капитану очень вкусный обед. Кок сильно постарался, и шкипер был так доволен едой, что вызвал в каюту повара. «Как тебя зовут?» — спросил капитан. «Адольф», ответил кок. «Тогда посмотри из иллюминатора. Видишь красивый остров, который как раз сейчас находится с наветренной стороны от носовой части судна? Я отмечаю в вахтенном журнале, что он назван островом Адольфа, так что ты получил свой остров в знак благодарности за еду». Кок взглянул на гористый, покрытый джунглями остров. «Весьма благодарен, капитан, пришлось ему сказать, — но вы еще не пробовали десерт». Это блюдо, очевидно, тоже понравилось капитану, потому что он назвал соседний остров Малым Адольфом. Оба острова можно найти на навигационной карте и сегодня.
Почти пять недель «Индевор» плавал вдоль побережья в великолепную погоду. Дельфины резвились вокруг судна, «словно лососи», и странствующий альбатрос, называемый по-латыни Diomeda exilans, самая большая и самая сильная из морских птиц, доверительно кружил вокруг судна как отличная цель для ружья Бэнкса. Мыс Байрон был назван в честь дедушки поэта Байрона, капитана одного из английских кораблей и хорошего друга Кука. Магнитный остров получил свое название, потому что повлиял на компас «Индевора». Теперь экспедиция находилась в тропиках, многие тропические острова и коралловые рифы стали появляться по ходу судна, и во время плавания Кук щедро одаривал их именами британских аристократов. Фарватеры в этих водах были невероятно извилисты, вокруг было рассеяно множество скал, отмелей и рифов, поэтому Кук назвал весь этот район Лабиринтом. Не только многочисленные коралловые рифы представляли большую опасность для «Индевора», разница высот между приливом и отливом там достигала семи метров, и Кук плыл очень осторожно. Тем не менее произошло то, чего он больше всего опасался. 11 июня около 11 часов вечера при лунном свете корабль очень медленно шел под двойным верхним парусом между коралловыми рифами; двое людей на носу непрестанно выполняли лоцманскую службу; вдруг раздался резкий звук с передней части судна, корабль сильно накренился и все находившиеся на борту, кроме лежавших или сидевших в своих каютах, попадали. «Индевор» прочно сел на коралловый риф.