При изложении общих принципов фортификации, говорится в книге, прежде всего полагают, что местность, окружающая крепость, горизонтальна во всех направлениях на расстоянии пушечного выстрела и не имеет никаких возвышений, которые могли бы предоставить некоторые преимущества осаждающему…
Когда окружающая местность имеет какую-нибудь высоту, которой осаждающие могли бы воспользоваться и от которой надо защитить крепость, остается воспользоваться еще одним новым соображением (здесь он излагает свой метод). Если имеется только одна высота, то в этой местности выбирают две точки, через которые проводят плоскость, касательную к высоте, от которой желательно защититься; эта касательная плоскость называется плоскостью дефилады; всем частям крепости придают тот же рельеф над плоскостью дефилады, который они имели бы над горизонтальной плоскостью, если бы местность была горизонтальной; таким путем эти части имеют одна над другой и все вместе над соседней высотой то же командование (доминирование, или возвышение), как и в горизонтальной местности; укрепленный район при этом обладает теми же преимуществами, что и в предыдущем случае.
Как видим, не какая-то вертикальная плоскость, выбранная более или менее удачно, дает решение задачи, а наклонная плоскость дефилады, то есть плоскость, касательная к наивысшей из точек вне крепости и проходящая через некоторые две точки внутри ее. Что же это за точки? И на этот вопрос Монж дает четкий ответ.
«Что касается выбора двух точек, через которые должна проходить плоскость дефилады, — пишет он, — то они должны удовлетворять двум следующим условиям:
чтобы угол, составленный этой плоскостью с горизонтом, был бы возможно меньшим, так, чтобы валганги (ходы сообщения) имели наименьший наклон и служба защиты встречала бы наименьшие трудности;
поднятие укрепления над естественной местностью должно быть также возможно меньшим, дабы постройка — требовала меньших работ и расходов».
Если в окрестностях крепости окажутся две высоты, от которых надо защититься, то плоскость дефилады, как указывает Монж, должна быть одновременно касательной к поверхностям этих двух высот. Для фиксирования ее положения остается только одно свободное условие, которым и пользуются: выбирают такую точку на местности, которая удовлетворяла бы требованиям, изложенным ранее.
Редкое по смелости и логичности решение Монжа произвело немалое впечатление на корифеев фортификации. Неоднократная проверка нового метода блестяще подтвердила правильность заложенных в него идей. Престиж молодого рисовальщика и лепщика возрос в глазах администрации во сто крат. Произошло событие невероятное и вместе с тем закономерное. Сын мелкого торговца вразнос Гаспар Монж, которому непозволительно было учиться инженерному делу вместе с дворянскими отпрысками, оказался достойным того, чтобы их учить. Он был назначен репетитором (по нашим современным представлениям — ассистентом) кафедры математики, которую возглавлял профессор Боссю. Причиной тому — не особая доброта начальства, а большая ценность того, что предложил Монж в области фортификации.
Декарт был прав
Великий математик, философ, физиолог, физик и лирик, неплохо владевший шпагой, Рене Декарт в заключительных строках своей книги с не оригинальным названием «Геометрия» сказал:
«И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им удовольствие самим найти это».
Потомки высоко оценили Декарта и эти его слова. Удовольствий он им оставил очень много. Наряду с тем, что ученый опустил по доброй воле, осталось еще много недоделанного и еще больше вовсе не сделанного по причинам самого объективного свойства. После всякого ученого, а после великого в особенности, остается «фронт работ» намного больший, чем был до него. Так что потомству грех жаловаться на великих предшественников.
Сомкнул навсегда свои веки Декарт, а его знаменитая система координат, так называемый координатный метод, составлявший основу геометрии Декарта, остался незавершенным. Координаты в его системе оказались неравноправными из-за того, что он пользовался только одной осью. Не было и четкого различия
в знаках координат. А казалось бы, чего стоило старику провести еще парочку осей и поставить по концам плюсы и минусы! Однако этого он не сделал, и мы не можем быть к нему в претензии.
Сын знатного дворянина Декарт реформировал «чистую» математику, открыл связь между числом и пространственной формой, приложив алгебру к теории кривых линий. Началось быстрое развитие геометрии, и ее успехи вскоре распространились на все области, с нею смежные. Геометрия Декарта послужила необходимой предпосылкой для разработки Лейбницем и Ньютоном дифференциального исчисления — этого могучего аппарата современной математики.
Конические сечения древние геометры получали, орудуя на теле конуса с круговым основанием. Дело это нелегкое, и не зря предупреждал Эратосфен: «…не тщись конус трояко рассечь». Удивительное свойство этих трех кривых, получаемых при различных сечениях конуса (эллипс, парабола, гипербола), открыл Декарт: оказывается, все они, как и окружность, описываются сходными алгебраическими выражениями — уравнениями второй степени (их и называют кривыми второго порядка).
Декарт, разработавший область, никем, кроме Ферма, не тронутую со времен Аполлония, по праву считается создателем аналитической геометрии. Что же касается геометрии начертательной, то удовольствие самому открыть новую ветвь геометрии и честь называться создателем этой науки великий мыслитель оставил кому-нибудь из смышленых потомков.
Сын мелкого торговца Монж, произведенный в репетиторы кафедры математики в Мезьерской школе, занялся именно этим направлением. Удовольствие искать и находить он уже вкусил и потом не мог отказать себе в нем в течение всей своей большой и драматической жизни.
Нельзя сказать, чтобы Монж начал свою работу на совершенно пустом месте и что у него не было достойных предшественников и учителей. Их было предостаточно. Планы, составленные в горизонтальной проекции, известны еще по гробницам фараонов. Но это известно нам, людям двадцатого столетия. И мы знаем, что одним из первых европейцев, проникших внутрь самой большой пирамиды, был Гаспар Монж,
Только сделал он это тридцать лет спустя, когда начертательную геометрию уже давно штудировали его ученики.
Известно также, что методы горизонтального и вертикального проецирования — «ихнографию» и «ортографию» — применяли древние греки. А живший задолго до Монжа первый русский настоящий академик, член Парижской академии наук Петр Романов, русский самодержец, ввел в кораблестроение и выполнял своими собственными руками при отменном качестве чертежи кораблей в трех проекциях, то есть в трех плоскостях: «на боку», «пол у широте» и «корпусе». Царь самолично занимался этим, «понеже в Голландии нет на сие мастерство совершенства геометрическим способом…»
Чертежи Петра I изображали не внешний вид предмета, а его теоретическое построение, причем в трех современных проекциях: «бок» — фронтальная проекция, «полуширота» — горизонтальная и «корпус» — профильная. А ведь метод Монжа, каким он вошел в историю и каким мы его знаем, состоит в прямоугольном проецировании на две (только на две, а не три!) взаимно перпендикулярные плоскости — горизонтальную и вертикальную. И если еще древние греки делали то же самое, то не был ли Петр I «святее самого папы римского», то есть не зашел ли он дальше самого Монжа? В чем же заслуга французского геометра, и не преувеличиваем ли мы ее?
Нет, не преувеличиваем. Первый камень в здание начертательной геометрии как науки заложил именно Монж, решив в Мезьере задачу дефилирования местности приемами, свойственными этой науке. Здесь же, в провинциальном Мезьере, он один сложил — камень за камнем — стены, своды и перекрытия этого здания и увенчал его куполом. Это может казаться чудом, но так оно и есть. Сошлемся на высказывание специалиста, советского ученого Бориса Николаевича Делоне.