Имеется также большой выигрыш в общности. Так же, как размер и вид фигур не завысят от их положения относительно системы координат, так и некоторые свойства соответствующих алгебраических выражений тоже не зависят от системы координат. Эти «инварианты» служат для описания данной геометрической фигуры. Так, вполне естественно, развитие проективной геометрии, изучающей часто совершенно поразительные преобразования, связанные с проектированием, способствовало параллельному развитию алгебры, концентрирующемуся на изучении инвариантов алгебраических форм относительно различных групп преобразований. Благодаря своей высокоутончённой мощи алгебраический подход вскоре одержал верх над геометрическим, а теория алгебраических инвариантов стала предметом всепоглощающего интереса большого числа математиков.
Пионерами в новой области были англичане — Артур Кэли и его близкий друг Джон Сильвестр, оба, по случайности, бывшие адвокаты, ставшие математиками.
Однако немцы быстро усвоили новую теорию. В результате этого известный математический журнал Mathematische Annalen превратился почти исключительно в международный форум работ по алгебраическим инвариантам.
Проблема, которую Линдеман предложил Гильберту для диссертации, касалась вопроса о свойствах инвариантности некоторых алгебраических форм. Она была довольно трудной для докторской диссертации, однако не настолько, чтобы нельзя было ожидать её решения. Проявив оригинальность, Гильберт решил её способом, отличным от того, который, по общему мнению, мог привести к успеху. Это была очень хорошая работа. Линдеман был удовлетворён.
Экземпляр диссертации был послан Минковскому, который после недавней смерти отца уехал вместе с матерью в Висбаден.
«Я изучал Вашу работу с большим интересом, — писал Минковский Гильберту, — и наслаждался, следя за всеми превращениями, в результате которых бедные инварианты, сыграв свою роль, должны были полностью исчезнуть. Я никогда бы не мог подумать, что такая хорошая математическая теорема могла быть получена в Кёнигсберге».
11 декабря 1884 года Гильберт сдал устный экзамен. Следующее и последнее тяжёлое испытание состоялось 7 февраля 1885 года, когда в Aula, актовом зале университета, состоялся публичный выпускной экзамен. Здесь он должен был защищать два тезиса, выбранные им по своему усмотрению. Официальными :<оппонентами» были назначены два студента-математика. (Одним из них был Эмиль Вихерт, позже ставший известным сейсмологом.) Как правило, эта защита представляла собой шуточное сражение, её основной целью было установить, что кандидат в состоянии понимать и ставить важные вопросы.
Два предложения, выбранные Гильбертом для защиты, затрагивали весь диапазон математики. Первое относилось к экспериментальному способу определения абсолютного электромагнитного сопротивления. Второе имело философский характер и воскрешало великий дух Иммануила Канта.
Кант, читавший лекции в Кёнигсбергском университете не только по философии, но и по математике, утверждал, что человек обладает некоторыми понятиями, которые имеют априорный характер, в отличие от апостериорных понятий (т.е. таких, которые даются опытным путём). В качестве примеров априорного знания он ссылался на понятия логики, арифметики и геометрии и, в частности, на аксиомы Евклида.
Открытие в первой половине XIX столетия неевклидовой геометрии вызвало серьёзное сомнение в этом утверждении Канта. Действительно, оно показало, что, отбросив одну из аксиом Евклида, можно тем не менее построить геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова геометрия. Тем самым стало очевидным, что знания, заложенные в аксиомах Евклида, являлись апостериорными, эмпирическими, а не априорными.
Могло ли так же обстоять дело и с понятиями арифметики? Гаусс, бывший, по-видимому, первым из математиков, кто сознавал существование неевклидовой геометрии, писал в одно время:
«Я глубоко убеждён, что теория пространства имеет совершенно иное отношение к нашему априорному знанию, чем арифметика; совершенная уверенность в необходимости, а следовательно, в истинности, характерная для последней, является тем, в чём мы полностью нуждаемся для первой. Мы должны со всей покорностью признать, что число есть не что иное, нак продукт нашего мышления. Наоборот, пространство обладает реальностью и помимо нашего мышления, его законы нельзя задавать a priori.»