«Разумеется, он много знал о матричной алгебре, дифференциальных уравнениях и прочем, а все эти вещи составляют математический аппарат квантовой механики. Это облегчало мою работу. Я приходил к нему домой два или три раза в неделю, как и требовалось, и мы обсуждали общие вопросы. Затем он мог спросить о каких-нибудь непонятных местах в работе или о выводе формул в каком-нибудь конкретном приложении. В следующий раз мы говорили об этом снова — всё ли было правильно и понятно».
За матричной алгеброй Гейзенберга вскоре последовала волновая механика Эрвина Шрёдингера. Обе работы, хотя и посвящённые одной и той же теме и приводившие к одинаковым результатам, удивили физиков тем, что, как один из них с изумлением отмечал, «они исходили из абсолютно разных физических предположений, использовали совершенно разные математические методы и казались не имеющими отношения друг к другу».
Однако вскоре эквивалентность теорий Гейзенберга и Шрёдингера была установлена.
Всё это развитие, по словам Кондона, «очень рассмешило» Гильберта:
«... Когда [Борн, Гейзенберг и другие физики-теоретики из Гёттингена] впервые открыли матричную механику, у них были, конечно, затруднения, возникающие у каждого, кто вычисляет с матрицами и вообще решает с их помощью серьёзные проблемы. Поэтому они обратились за помощью к Гильберту, который сказал, что каждый раз, когда ему приходилось иметь дело с матрицами, они возникали в качестве побочного продукта собственных значений краевой задачи для дифференциального уравнения. Поэтому, если вы попробуете поискать дифференциальное уравнение, связанное с этими матрицами, то, может быть, получите что-то новое. Они сочли это бестолковой идеей, решив, что Гильберт не понимал, о чем говорил. После этого он очень веселился, когда указал им, что они могли бы открыть волновую механику Шрёдингера на шесть месяцев раньше, если бы они хоть немного к нему прислушались».
Благодаря своему почти фантастическому выздоровлению Гильберт дожил до того, что было названо «одним из самых драматических предвидений в истории математической физики».
Книга Куранта—Гильберта по математической физике, появившаяся в конце 1924 года до работ как Гейзенберга, так и Шрёдингера, вместо того, чтобы устареть из-за новых открытий, казалось, была написана специально для нужд физиков, которым пришлось иметь дело с этими открытиями. Работы самого Гильберта по интегральным уравнениям, теория собственных функций и собственных значений 1903–1904 годов и теория бесконечно многих переменных 1905–1906 годов оказались адекватной математикой для квантовой механики (как это было впервые установлено Борном в совместной работе с Гейзенбергом и Йорданом).
«Косвенным образом Гильберт оказал сильнейшее влияние на развитие квантовой физики в Гёттингене, — писал позже Гейзенберг. — Полностью это мог прочувствовать только тот, кто в двадцатые годы учился в Гёттингене. Гильберт и его коллеги создали здесь атмосферу математики, в которой все молодые математики столь хорошо владели идеями гильбертовой теории интегральных уравнений и линейной алгебры, что лучшие работы в этой области могли быть созданы только в Гёттингене. Особенно счастливым совпадением явилось то, что математические методы квантовой механики явились непосредственным приложением гильбертовой теории интегральных уравнений...»
Для самого Гильберта это послужило ещё одним примером той предустановленной гармонии, которую олицетворяла и воплощала, по его мнению, математическая мысль.
«Я развил свою теорию бесконечно многих переменных из чисто математических интересов, — восхищался он, — и даже назвал её «спектральным анализом», абсолютно не подозревая, что позже она найдёт применение в настоящих спектрах физики».
Дальнейшее развитие событий также не оставило равнодушным Гильберта, так как оно подчёркивало преемственность математических достижений. Созданная Гильбертом теория бесконечно многих переменных, ставшая известной как теория «гильбертовых пространств», в некоторых отношениях оказалась теперь не совсем адекватной для применений в квантовой механике. Тогда молодой Джон фон Нейман, вдохновлённый Эрхардом Шмидтом, сумел сделать более абстрактным гильбертово понятие квадратичной формы и тем самым расширил теорию Гильберта, сделав её полностью применимой для нужд физиков.
Последней публикацией Гильберта по физике была совместная работа с Нордгеймом и фон Нейманом по аксиоматическим основам квантовой механики. Хотя она почти и не содержала его собственных результатов, в ней чувствовался вполне определённый отпечаток духа Гильберта. Содержащаяся в этой работе попытка аксиоматизации оказалась не совсем строгой с математической точки зрения, тем не менее она помогла фон Нейману познакомиться с квантовой механикой и вдохновила его в дальнейшем на создание своего знаменитого анализа основ этого предмета.