Однако ему казалось, что давно осознанное согласие между природой и мышлением, экспериментом и теорией можно было понять, только приняв во внимание формальный элемент и связанный с ним механизм, присутствующий с обеих сторон — и в природе и в мышлении. Расширение методов современной науки должно привести к системе естественных законов, во всех отношениях согласующихся с действительностью. В этом случае, чтобы получить полное знание о природе, нам достаточно будет только чистого мышления — абстрактной дедукции. Однако, по его мнению, это не давало окончательного ответа: «Действительно, каково происхождение этих законов? Как мы получаем их? Откуда мы знаем, что они соответствуют действительности? Ответ заключается в том, что мы можем получить эти законы только с помощью нашего собственного опыта... Тот, кто тем не менее захочет отрицать, что универсальные законы основаны на опыте, должен будет признать, что существует ещё третий источник познания...»
Великий сын Кёнигсберга Иммануил Кант был классическим представителем этой точки зрения — точки зрения, которую Гильберт защищал 45 лет назад на своём публичном экзамене на звание доктора философии. Теперь перед выступлением он с улыбкой заметил одному своему молодому родственнику, что многое из сказанного Кантом было «сплошной чепухой», — но этого, он, разумеется, не мог сказать гражданам Кёнигсберга.
Кант утверждал, что, кроме логики и опыта, человек обладает некоторым априорным знанием действительности.
«Я допускаю, — сказал Гильберт своим слушателям, — что даже при создании специальных теоретических областей необходима некоторая априорная интуиция... Я даже верю, что математическое знание, в конечном счёте, зависит от подобных априорных воззрений... Поэтому наиболее общая основная мысль кантовской теории познания сохраняет своё значение... Понятие a priori есть не более и не менее, чем... выражение некоторых обязательных предварительных условий мышления и познания. Однако граница между тем, чем мы обладаем a priori, и тем, для чего мы нуждаемся в опыте, должна быть проведена нами не так, как это делает Кант, — Кант значительно переоценил роль и степень априорности».
Теперь известно, что многие факты, которые ранее считались вполне очевидными a priori, оказались просто неверными. Самым разительным примером является понятие абсолютного настоящего. Но в то же время в работах Гельмгольца и Гаусса было показано, что геометрия была «не чем иным, как ответвлением в общей умозрительной системе физики». Мы забыли, что геометрические теоремы когда-то возникли из опыта!
«Мы видим теперь, что теория априорности Канта содержит антропоморфные остатки, от которых она должна быть избавлена. Когда мы это сделаем, останется только та априорность, которая в то же время является и основой чисто математического познания».
По существу, он высказывал этим своё отношение, сформулированное в его недавней работе по основаниям математики.
«Средство, которое помогает сглаживать различие между теорией и практикой, между мышлением и экспериментом, есть математика. Она создаёт связующий мост и постоянно его укрепляет. Таким образом, оказывается, что вся наша теперешняя культура, поскольку она относится к интеллектуальному познанию и овладению природой, основывается на математике!»
О впечатлении, которое произвела на слушателей речь Гильберта, вспоминает Ойстен Оре, проводивший в то время в Кёнигсберге свой медовый месяц:
«Я помню то чувство волнения и интереса, которое было вызвано лекцией Гильберта и лекцией фон Неймана об основаниях теории множеств, — чувство, что наконец-то можно будет уяснить как аксиоматику основ математики, так и причины приложимости математики в естественных науках».
В заключительной части своей речи Гильберт особо подчеркнул, что, несмотря на важность приложений математики, они никогда не должны приниматься за меру её значения. Он закончил речь той защитой чистой математики, которой он так давно намеревался ответить на речь Пуанкаре на первом международном конгрессе математиков.
«Чистая теория чисел является той частью математики, для которой до настоящего времени не было найдено никаких приложений. Но именно теория чисел рассматривалась Гауссом (который сам внёс несравненный вклад в прикладную математику) как королева математики...»