По-видимому, Гильберт придерживался того же мнения, так как в своём втором предложении он утверждал, что возражения против теории Канта об априорной природе арифметических высказываний необоснованы.
Никаких свидетельств о защите этого предложения не имеется. По-видимому, его аргументы были достаточно убедительными, так как по окончании диспута ему была присуждена степень доктора философии.
Декан привёл его к присяге: «Торжественно спрашиваю Вас, обещаете ли Вы, давая эту присягу, и подтверждаете ли со всей убежденностью, что будете мужественно защищать истинную науку, будете её развивать и украшать не ради выгоды или мишурного блеска славы, а для того, чтобы свет божьей правды ярко светил и распространялся?»
В тот же вечер новый доктор философии и пришедшие поздравить его друзья дали телеграмму Минковскому.
Этим Гильберт вступил на первую ступень академической карьеры. Если бы его карьера сложилась удачно, он смог бы добиться конечной цели — стать полным профессором. Это положение было столь высоким в Германии того времени, что на могильных плитах умерших профессоров писались их титулы и специальности. Будучи же просто доктором философии, он не имел права даже читать лекции студентам. Для этого ему прежде всего нужно было выполнить ещё одно оригинальное математическое исследование и представить его в качестве «Habilitation» 11. В случае его одобрения факультетом ему было бы присуждено venia legendi 12, а вместе с тем звание приват-доцента и право без оплаты читать лекции под поручительством университета. Будучи таким доцентом, он должен был существовать на средства, получаемые с платы за обучение от студентов, изъявивших желание слушать его лекции. Так как курсы, посещаемые всеми студентами, такие, как, например, анализ, читались членами факультета, ему в лучшем случае пришлось бы вести класс из пяти или шести студентов. В этом случае ему пришлось бы испытать большие трудности. Однако если бы ему удалось привлечь к себе внимание своей работой и своими способностями (а лучше, нак говорили злые языки, если бы он женился на профессорской дочке), то он мог бы стать экстраординарным профессором, или ассистент-профессором, и получать жалованье от университета. Следующей ступенью было бы представление к званию ординарного, или полного профессора. Однако эта высшая ступень доставалась отнюдь не автоматически, так как, в отличие от практически неограниченного количества доцентов, число выходивших из них профессоров было очень ограниченным. Даже в Берлине было всего три профессора математики, в большинстве прусских университетов их было только два, а в Кёнигсберге всего лишь один.
В качестве спасения от превратностей такой карьеры молодой доктор мог сдавать государственный экзамен, дающий право стать учителем гимназии. Это не было наградой, которой следовало стыдиться. Хотя многие не пользовались этой возможностью, надеясь на высокопочитаемую должность профессора, надо было только сравнить число доцентов с числом профессорских кафедр, имеющих шанс стать вакантными, чтобы увидеть выгоды этой альтернативы. Учтя это, Гильберт начал готовиться к государственному экзамену, который он сдал в мае 1885 года.
В то же лето Минковский вернулся в Кёнигсберг, получил степень доктора философии, после чего почти сразу же был призван на год в армию. (Гильберт был одним из его официальных оппонентов на выпускном экзамене.)
Феликс Клейн в период его жизни в Лейпциге.
Гильберт не был призван на военную службу. Он обдумывал научное путешествие. Гурвиц настаивал на Лейпциге — и Феликсе Клейне.
Хотя Клейну было всего 36 лет, он уже стал легендарной фигурой в математических кругах. В возрасте 23 лет (теперешний возраст Гильберта) он уже был полным профессором в Эрлангене. Его вступительная лекция, известная в истории математики как Эрлангенская программа, составила эпоху. В ней с помощью теоретико-групповых понятий ему удалось классифицировать и объединить различные и, на первый взгляд, не связанные друг с другом геометрии, созданные в этом столетии. С самого начала своей карьеры он проявил редкостное сочетание творческих и организаторских способностей, а также ярко выраженное стремление разрушить барьеры между чистой и прикладной наукой. Его интересы затрагивали всю математику. Геометрия, теория чисел, теория групп, алгебра и теория инвариантов — всё было привлечено к его главной работе — развитию и завершению великих идей Римана в геометрической теории функций. Венцом этой работы явилась его теория автоморфных функций.