Однако Клейн, которого Гильберт встретил в Лейпциге в 1885 году, уже не был прежним ослепительным талантом. За два года до этого, в середине его занятий автоморфными функциями, один молодой математик из провинциального французского университета начал публиковать работы, показывающие, что его усилия сосредоточены в той же области. Клейн сразу же оценил силу своего соперника и начал с ним лихорадочную переписку. Почти с нечеловеческими усилиями он заставил себя добиться цели раньше Анри Пуанкаре. Окончательный результат в этом соревновании был, по существу, ничейным. Но Клейн не выдержал. Ко времени приезда к нему Гильберта он только недавно оправился от целого года глубокой душевной депрессии и физической усталости, вызванных его нервным потрясением. Это время он провёл за созданием небольшой книжки об икосаэдре, ставшей со временем классической. Однако будущее его карьеры было ещё неопределённым.
Гильберт посещал лекции Клейна и принимал участие в его семинаре. Личность Клейна не могла не произвести на него впечатления. Это был красивый человек с темными волосами и чёрной бородой, с светящимися глазами. Его лекции по математике почитались всеми и распространялись даже в Америке. Что касается реакции Клейна на молодого доктора из Кёнигсберга, то он заботливо хранил его Vortrag, доклад, с которым Гильберт выступал на семинаре, и позже писал: «Когда я услышал его Vortrag, я сразу же понял, что у этого человека большое будущее в математике».
После своей депрессии Клейн получил два предложения занять кафедру, одно в университете Джонса Гопкинса в Америке, от которого от отказался, другое в Гёттингене, которое он только что принял. По-видимому, Гильберт уже проникся чувством к Гёттингену, к университету Гаусса, Дирихле и Римана. Вдохновлённый назначением Клейна, он записал на внутренней стороне обложки записной книжечки, купленной в Лейпциге, одно из своих маленьких стихотворений. Его почерк такой неразборчивый, что трудно разобрать немецкие буквы. Однако смысл стихотворения приблизительно следующий:
В Лейпциге он вскоре познакомился с рядом других молодых математиков. Одним из них был Георг Пик, в котором Гильберта привлекло сочетание познаний об оплодотворении растений и животных с преклонением перед работами Гурвица. Другим был Эдуард Штуди, основным интересом которого, как и у Гильберта, была теория инвариантов. С последним они должны были бы иметь много общего, однако этого не произошло. Как писал Гильберт Гурвицу, «Штуди был странным человеком и по своей природе совсем противоположным мне, да, насколько я могу судить, и тебе тоже. Доктор Штуди признает, а точное знает, только одну область математики, а именно теорию инвариантов, притом исключительно символическую теорию инвариантов. Всё остальное есть бессистемное «дурака валянье»... По этой причине он презирает всех других математиков. Даже в своей области он считает себя единственным авторитетом, самым решительным образом набрасываясь на всех остальных специалистов. Он из тех, кто презирает всё, чего не знает, в то время как, например, на меня производит наибольшее впечатление именно то, чего я ещё не знаю». (Отвечая, Гурвиц писал: «Я не могу тебе описать, насколько эта личность противна мне, том не менее в интересах этого молодого человека я надеюсь, что ты видишь всё в несколько мрачном свете».)
В Лейпциге было значительно больше людей, интересующихся теорией инвариантов; однако Клейн направил все свои усилия, чтобы уговорить Штуди и Гильберта ехать на юг в Эрланген навестить своего друга Пауля Гордана, который в то время был известен как «король инвариантов».
По какой-то причине эта поездка не состоялась. Быть может, Гильберту не хотелось участвовать в ней вместе с Штуди.
Вскоре Гильберт стал членом кружка математиков в Лейпциге. В начале декабря 1885 года Клейн представил научному обществу одну его работу по инвариантам.
В новогоднюю ночь он был приглашён на «маленькую, но очень избранную» вечеринку у Клейна — «профессор Клейн, его досточтимая супруга, доктор Пик и я». В эту ночь Минковский, скрюченный от холода в форте Фридрихсбург, посреди реки Прегель, писал новогодние пожелания своему другу, вопрошая: «О, где те времена, когда этот бедный солдат так жаждал посвятить себя любимой математике?» А у Клейна шла оживленная беседа «о всех возможных и невозможных вещах». Клейн пытался убедить Гильберта поехать на семестр в Париж, а после этого уже вернуться в Кёнигсберг. Гильберт писал Гурвицу: «Он сказал, что Париж в это время похож на пчелиный улей в смысле научной активности, особенно это касается молодых математиков; период занятий там мог бы оказать самое плодотворное и стимулирующее влияние на меня, особенно если удастся найти хороший подход к Пуанкаре».