Гильберт

Первая из них утверждает, что инварианты имеют конечный целый базис. Это означает, что можно найти среди них конечное число таких инвариантов i₁, ..., i_m, чтобы каждый другой инвариант J был представим в виде многочлена от них. Тождественное соотношение между базисными инвариантами i₁, ..., i_m есть многочлен F(z₁, ..., z_m) от m независимых переменных z₁, ..., z_m, обращающийся в нуль после подстановки

z₁ = i₁(x₁, ..., x_n), ..., z_m = i_m(x₁, ..., x_n).

Вторая основная теорема утверждает, что идеал соотношений имеет конечный базис. Это означает, что можно выбрать среди них конечное число соотношений F₁, ..., F_h, для которых каждое соотношение F будет представимо в виде

F = Q₁F₁ + ... + Q_hF_h, (1)

где Q_i — многочлены от переменных z₁, ..., z_m.

Я возьму на себя смелость предположить, что Гильберту удалось сначала доказать вторую теорему. Соотношения образуют подмножество в кольце k[z₁, ..., z_m] всех многочленов от переменных z₁, ..., z_m с коэффициентами из данного поля k. Когда Гильберт нашёл своё простое доказательство, он не мог не заметить, что оно проходит для любого множества многочленов Σ. Тем самым он открыл одну из самых фундаментальных теорем алгебры, которая играет основополагающую роль в наших современных абстрактных методах и которая, утверждает, что

(А) Каждое подмножество Σ кольца многочленов k[z₁, ..., z_m] порождает идеал с конечным базисом.

Будет ли это плохой метафизикой, если добавить, что его доказательство оказалось таким простым потому, что предложение справедливо в столь общей форме? Это доказательство проводится при помощи последовательного присоединения переменных z_i и использования на каждом шаге следующего утверждения. Пусть кольцо r удовлетворяет условию (Р): каждый идеал в r обладает конечным базисом; тогда кольцо многочленов r[z] от одной переменной с коэффициентами в r также удовлетворяет условию (Р). После того как установлено это утверждение, мы получаем не только теорему (А), но и её арифметическое обобщение, предложенное Гильбертом, в котором поле k рациональных чисел заменяется на кольцо целых рациональных чисел.

Подмножество ? соотношений, к которому Гильберт применяет свою теорему (А), само является идеалом, и тем самым идеал {F₁, ..., F_h}, т.е. множество всех элементов вида (1), где Q_iIk[z₁, ..., z_m], не только содержит ?, но и совпадает с ?, Однако доказательство применимо и в случае, когда ? не является идеалом, и даёт одновременно порождающий идеал {?} для ? и устанавливает конечность его базиса, {?} = {F₁, ..., F_h}.