Гильберт

Построение полного набора соотношений F₁, ..., F_h окончательно определило бы алгебраическую структуру кольца инвариантов, если бы оказалось, что любое соотношение представляется в виде (1) только одним способом. Но, так как это, вообще говоря, неверно, нам приходится рассматривать «полиномиальные векторы» M= (M₁ ..., M_h), для которых M₁F₁ + ... + M_hF_h тождественно равно нулю (первые сизигии). Эти линейные соотношения M между многочленами F₁ ..., F_h снова образуют идеал, к которому применима теорема (А). Получаемый таким образом базис M определяет вторые сизигии. К двум первым основным теоремам Гильберт добавляет третью, утверждающую, что можно так выбирать сизигии, что их последовательность обрывается не более чем через m шагов.

Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы не установим первую основную теорему. Последняя имеет совершенно особый характер, поскольку она относится к конечности базиса области целостности, а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем дело с кольцом k_x = k[x₁, ..., x_m] многочленов от x₁, ..., x_m над данным полем k. Гильберт применяет свою теорему (А) к множеству J всех инвариантов J, для которых J(0, ..., 0) = 0 (оно образует подкольцо в k_x, а не идеал!), и находит таким образом базис i₁, ..., i_m идеала, порождённого множеством J. Каждый из инвариантов i = i_r может быть представлен в виде суммы i = i⁽¹⁾ + i⁽²⁾ + ... однородных форм степеней 1, 2, ..., и, так как эти слагаемые сами представляют собой инварианты, мы можем считать, что i_r — однородные формы степеней ?_r ? 1. После этого Гильберт утверждает, что многочлены i₁ ..., i_m составляют систему образующих кольца всех инвариантов. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства этого утверждения, я рассмотрю случай инвариантов для некоторой конечной группы ?, состоящей из N элементов s (хотя этот случай общей проблемы инвариантов никогда не рассматривался самим Гильбертом). Каждый инвариант J представим в виде

J = c + L₁i₁ + ... + L_mi_m, (L_rIk_x),

(2)

где c = J(0). Если степень J равна ?, то, не нарушая равенства (2), можно избавиться в L_r от всех членов степени, большей ? – ?_r. Если бы нам удалось каким-нибудь способом заменить коэффициенты L_r в (2) на инварианты, то мы получили бы нужное нам утверждение с помощью индукции по степени J. В случае конечной группы это легко можно сделать — надо воспользоваться процессом усреднения. Линейное преобразование U(s) переменных x₁, ..., x_n, определяемое элементом s, переводит (2) в

J = c + L₁^s i₁ + ... + L_m^s i_m.

Суммируя по s и деля полученную сумму на N, мы получаем соотношение

J = c + L₁^* i₁ + ... + L_m^* i_m.

где

Lr* =	1 N	?	Lrs .
		s

Оно похоже на (2), но важно то, что по его построению новые коэффициенты L_r^* являются уже инвариантами ¹.

Фактически Гильберту приходилось иметь дело не с конечной группой, а с классическим случаем, в котором группа ? состоит из всех линейных преобразований s переменных ?₁, ..., ?_g. При этом вместо процесса усреднения ему пришлось воспользоваться дифференциальным методом Кэли, так называемым ?-процессом Кэли, искусное применение которого позволило ему завершить доказательство, (В этом процессе существенно, чтобы g² элементов матрицы s были независимыми переменными, причём вместо абсолютных инвариантов надо рассматривать относительные инвариантные однородные формы данной степени и веса.)